04函数与导数的综合应用1.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是().A.(-∞,7]B.(-∞,-20]C.(-∞,0]D.[-12,7]解析▶令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f'(x)=3x2-6x-9,令f'(x)=0得x=-1或x=3(舍去). f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20,∴f(x)的最小值为f(2)=-20,故m≤-20.答案▶B2.已知函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是().A.20B.18C.3D.0解析▶对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,等价于在区间[-3,2]上,f(x)max-f(x)min≤t. f(x)=x3-3x-1,∴f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). x∈[-3,2],∴函数f(x)在[-3,-1],[1,2]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,又 f(-3)=-19,f(1)=-3,f(-1)=1,f(2)=1,∴f(x)max=f(2)=f(-1)=1,f(x)min=f(-3)=-19,∴f(x)max-f(x)min=20,∴t≥20,即实数t的最小值是20.答案▶A3.已知y=f(x)为R上的连续可导函数,且xf'(x)+f(x)>0,则函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为().A.0B.1C.0或1D.无数个解析▶因为g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上为增函数.因为g(0)>0,所以g(x)>0,故函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为0.答案▶A4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27πdm3,且用料最省,则圆柱的底面半径为dm.解析▶设圆柱的底面半径为Rdm,母线长为ldm,则V=πR2l=27π,所以l=27R2,要使用料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小.S表=πR2+2πRl=πR2+2π·27R,所以S'表=2πR-54πR2.令S'表=0,得R=3,则当R=3时,S表最小.答案▶3能力1▶会利用导数研究函数的零点问题【例1】已知函数f(x)=x2a-2lnx(a∈R,a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有最小值,记为g(a),关于a的方程g(a)+a-29a-1=m有三个不同的实数根,求实数m的取值范围.解析▶(1)f'(x)=2xa-2x(x>0),当a<0时,f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f'(x)=2(x+❑√a)(x-❑√a)ax,所以f(x)在(0,❑√a)上单调递减,在(❑√a,+∞)上单调递增.(2)由(1)知a>0,f(x)min=f(❑√a)=1-lna,即g(a)=1-lna,故方程g(a)+a-29a-1=m为m=a-lna-29a(a>0),令F(a)=a-lna-29a(a>0),则F'(a)=1-1a+29a2=(3a-1)(3a-2)9a2,所以F(a)在(0,13)和(23,+∞)上是单调递增的,在(13,23)上是单调递减的,所以F(a)极大值=F(13)=-13+ln3,F(a)极小值=F(23)=13-ln2+ln3,依题意得13-ln2+ln3
0)在区间(0,1)和(2,+∞)上均单调递增,在(1,2)上单调递减,则函数f(x)的零点个数为().A.0B.1C.2D.3解析▶由题意可得f'(x)=2ax+b+cx,则{f'(1)=2a+b+c=0,f'(2)=4a+b+c2=0,解得{b=-6a,c=4a,所以f(x)=a(x2-6x+4lnx),则极大值f(1)=-5a<0,极小值f(2)=a(4ln2-8)<0,又f(10)=a(40+4ln10)>0,结合函数图象可得该函数只有1个零点.故选B.答案▶B2.(广西2018届高三第二次联合调研)已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a∈R),直线l:y=-23x+ln3-23是曲线y=f(x)的一条切线.(1)求a的值.(2)设函数g(x)=xex-2x-f(x-a)-a+2,证明:函数g(x)无零点.解析▶(1)由题意得f'(x)=1x+a-1.设切点为P(x0,y0),则{1x0+a-1=-23,ln(x0+a)-x0=-23x0+ln3-23,解得{x0=2,a=1,∴a=1.(2)由(1)知g(x)=xex-2x-f(x-1)-1+2=xex-lnx-x.则g'(x)=(x+1)ex-1x-1=(x+1)x(xex-1).令G(x)=xex-1,则G'(x)=(x+1)ex. 当x>0时,G'(x)>0,∴G(x)在(0,+∞)上单调递增.又G(0)=-1<0,G(1)=e-1>0,∴G(x)存在唯一零点c∈(0,1),且当x∈(0,c)时,G(x)<0,当x∈(c,+∞)时,G(x)>0,∴当x∈(0,c)时,g'(x)<0,当x∈(c,+∞)时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,c)上单调递减,在(c,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(c). G(c)=cec-1=0,00,∴g(x)≥g(c)>0,∴函数g(x)无零点.能力2▶会利用导数证明不等式【例2】(2018年天津市南开中学高三模拟考试)已知f(x)=ex-alnx-a,其中常数a>0.(1)当a=e时,求函数f(x)的极值.(2)当0
