专题07三角恒等变换与解三角形1．已知sin＝，那么cosα＝()A．－B．－C.D.解析：选C.sin＝sin＝cosα＝.2．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝()A.B.C.D.3．设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.B．－C.D．－解析：选B.sin80°＝＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－，故选B.4．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－C.D．1解析：选D.法一：由sinα＋cosα＝得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝1，又因为α∈(0，π)，则当cosα＝0时，sinα＝1，不符合题意，所以cosα≠0，所以＝＝1，解得tanα＝1，故选D.法二：由sinα＋cosα＝得：sin＝，即sin＝1，∵0＜α＜π，∴＜α＜，∴α＋＝，即α＝故tanα＝1，故选D.5．若＝，则sinαcosα＝()A．－B．－C．－D.6．若θ∈，sin2θ＝，则tanθ＝()A.B.C．2D.解析：选C.法一：∵sin2θ＝2sinθcosθ＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈，∴sinθ＋cosθ＝，sinθ－cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝2，故选C.法二：由θ∈知tanθ≥1，∴sin2θ＝，∴＝∴＝解得tanθ＝(舍)或tanθ＝2.7．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanA·tanB等于()A．4B.C．－4D．－8．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin的值等于()A.B.C.D.解析：选A.∵α为第二象限角，sinα＝，所以cosα＝－，则sin＝×－×＝，故选A.9．若α是第四象限角，tan＝－，则cos＝()A.B．－C.D．－解析：选D.由题意知，sin＝－，cos＝cos＝sin＝－.10．已知sin＝，则cos的值是()A.B.C．－D．－解析：选D.cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×－1＝－.11．已知α满足sinα＝，那么sin·sin的值为()A.B．－C.D．－解析：选A.原式＝sincos＝sin＝cos2α＝(1－2sin2α)＝，故选A.12．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin＝()A．－B．－C.D.13.已知tan(3π－x)＝2，则＝________.解析：tan(3π－x)＝tan(π－x)＝－tanx＝2，故tanx＝－2.故＝＝＝－3.答案：－314．若tanθ＝2，则2sin2θ－3sinθcosθ＝________.解析：法一：原式＝cos2θ(2tan2θ－3tanθ)＝(2tan2θ－3tanθ)＝×(2×22－3×2)＝.法二：原式＝＝＝＝.答案：15．已知α∈，tan＝，则sinα＋cosα＝________.解析：依题意，＝，解得tanα＝－＝，因为sin2α＋cos2α＝1且α∈，解得sinα＝，cosα＝－，故sinα＋cosα＝－＝－.答案：－16．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sinα＋cosα的值为________．答案：17．已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解：f(x)＝sin＋cos＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.18．设f(x)＝sinxcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝.由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.
