专题21平面向量中最值、范围问题【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板：第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题；第三步得出结论.例1.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【答案】例2如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2B．C．D．【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（）A．2B．C．D．【答案】C考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1,1），B（4,0），C（2,2）．平面区域D由所有满足（1≤≤a，1≤≤b）的点P（x,y）组成的区域．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为．【答案】4CMNABGQ考点：1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．【变式演练3】平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为．【答案】【解析】试题分析：对两边平方可得可化为，据已知条件可得，即，又，则.故本题填.考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二利用向量的数量积求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步运用向量的数量积的性质求解；第三步得出结论.例3已知的顶点坐标为，，，点P的横坐标为14，且，点是边上一点，且.（1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）.考点：向量的数量积，向量共线.【点评】其解题思路为：（1）由，根据向量共线，设出P点坐标即可得；（2）设出Q点坐标,根据可得一个方程，然后利用Q在AB上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q点坐标；（3）由R在线段OQ上可利用向量共线设R坐标，注意引入的变量范围，然后分别表示出向量利用数量积得出一个关于的二次函数，求这个关于的二次函数的最值即可得.【变式演练4】已知向量不共线，为实数．（Ⅰ）若，，，当为何值时，三点共线；（Ⅱ）若，且与的夹角为，实数，求的取值范围．【答案】（1）（2）.（Ⅱ）由，则，因为，当时，的最小值为当时，的最大值为所以的取值范围是考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平行向量与共线向量.【变式演练5】若直线与圆交于、两点（其中为坐标原点），则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．方法三建立直角坐标系法使用情景：一般向量求最值或取值范围类型解题模板：第一步根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步将平面向量数量积的运算坐标化；第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例3.在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）A.B.C.D.24【答案】D【解析】以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设当时取得最小值，，选D.【点评】：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.例4在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.【答案】.当即(与同向)时,的最大值为.【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐...
