一、弦长问题培优点十八圆锥曲线综合例1：过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦，求：（1）弦的中点到点的距离；（2）弦的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）双曲线的右焦点，直线的方程为．联立，得．设，，则，．设弦的中点的坐标为，则，．所以．二、定值问题（2）由（1），知．例2：设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求抛物线的方程；（2）已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义得，即．故抛物线的方程为．（2）易知焦点的坐标为，若直线的斜率不存在，即直线方程为，三、最值问题此时令，，∴；若直线的斜率存在，设直线方程为，设，，由抛物线的定义知，．由，得，根据韦达定理得，所以，综上可得，为定值．例3：已知两定点，，为坐标原点，动点满足：直线，的斜率之积为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与（1）中曲线交于，两点，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设点的坐标为，则，，所以，化简得，所以所求轨迹方程是．（2）设直线的方程为，联立曲线的方程得，设，，由韦达定理得，，所以的面积，设，则，上式当即时取等号，所以的面积的最大值是．四、存在性问题例4：已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线与椭圆交于，两点，满足，且原点到直线的距离为
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的方程为，则左焦点为，在直角三角形中，可求，∴．又，∴．故椭圆的方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，对点增分集训由原点到的距离为，得．联立方程，得．则．设，，则，，则，解得．当斜率不存在时，的方程为，易求得．综上，不存在符合条件的直线
