第二讲二项式定理【套路秘籍】---千里之行始于足下1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r∈{0,1,2，…，n})2．二项式系数的性质(1)C＝1，C＝1.C＝C＋C.(2)C＝C.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一通项公式的运用【例1】（1）(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)（2）3展开式中的常数项为。（3））(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为。（4）展开式中x2的系数为。【答案】（1）10（2）-20（3）30（4）-1280【解析】（1）Tr＋1＝C(2x)5－r·()r＝25－rC·，令5－＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10（2） 3＝6，∴Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为C(－1)3＝－20.（3）法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.（4）根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：化简得到-1280x2【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.【举一反三】1．展开式中项的系数是（）A．270B．180C．90D．45【答案】A【解析】 ，∴展开式中项的系数为270，故选：A．2．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14B．28C．56D．112【答案】A【解析】因为在的展开式中，，令则，∴，再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A3．在的展开式中，含项的系数为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，含项的系数为.故选：B4．的展开式中的系数是（）A．27B．-27C．26D．-26【答案】B【解析】展开式中的系数中的与展开式中项相乘，但展开式中没有项中的与展开式中项相乘，所以的系数是，故选B项.考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】根据所给的等式求得常数项，令，则在所给的等式中，令，可得：①令，则②用①②再除以可得用①②再除以可得在中，令，可得【套路总结】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.【举一反三】1.5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40【答案】D【解析】令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.因此5展开式中的常数项即为5展开式中的系数与x的系数的和.5展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k·(－1)k·x－k＝C25－kx5－2k·(－1)k.令5－2k＝1，得2k＝4，即k＝2，因此5展开式中x的系数为C25－2(－1)2＝80.令5－2k＝－1，得2k＝6，即k＝3，因此5展开式中的系数为C25－3·(－1)3＝－40.所以5展开式中的常数项为80－40＝40.2．若x4(x＋4)8＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a12(x＋3)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝（）.A．4B．8C．12D．11【答案】D【解析】当x＝﹣2时，x+3＝1．等式化为：（﹣2）4•28＝a0+a1+a2+…+a12．∴a0+a1+a2+…+a12＝…①当x＝﹣4时，x+3＝﹣1．等式化为：（﹣4）4•08＝0＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a12…②上述①②两等式相相减有：a1+a3+…+a11＝（+0）＝...
