专题06函数的奇偶性与周期性1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性热点题型一函数奇偶性的判定例1、【2017北京，文5】已知函数，则（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【提分秘籍】判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断(f(x)≠0)是否等于±1等。(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称。(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)【举一反三】若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则()A．函数f(g(x))是奇函数B．函数g(f(x))是奇函数C．函数f(x)g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】C【解析】根据函数奇偶性的定义可知，f(g(－x))＝f(g(x))，所以f(g(x))是偶函数，同理可以判断g(f(x))是偶函数，函数f(x)＋g(x)的奇偶性不确定，而f(－x)g(－x)＝[－f(x)]g(x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数。热点题型二函数奇偶性的应用例2、【2017课标II，文14】已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则________．【答案】12【【提分秘籍】函数奇偶性的问题类型及解题思路(1)已知函数的奇偶性，求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解。(2)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。(3)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性。【举一反三】设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－4(x＞0)，则f(x－2)＞0的解集为()A．(－4,0)∪(2，＋∞)B．(0,2)∪(4，＋∞)C．(－∞，0)∪(4，＋∞)D．(－4,4)【答案】B【解析】 f(x)＝x2－4(x＞0)，∴当x＞0时，若f(x)＞0，则x＞2，又由函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，－x＞0，若f(x)＞0，则f(－x)＜0，则0＜－x＜2，即－2＜x＜0，故f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)，故f(x－2)＞0时，x－2∈(－2,0)∪(2，＋∞)，x∈(0,2)∪(4，＋∞)，即f(x－2)＞0的解集为(0,2)∪(4，＋∞)。热点题型三函数的周期性及应用例3．(1)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数(2)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__________。【答案】（1）D（2）－11)＝f(1)＝1－2＝－1。【提分秘籍】函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T。(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。【举一反三】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝__________。【解析】因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，则有f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝＝。【答案】热点题型四函数性质的综合应用例4、(1)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，则满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围是________。(2)已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2011)等于()A．2B．3C．－2D．－3【答案】(1)[－1,1)(2)A偶函数，所以f(2)＝f(－2)，在f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)中，令x＝－2得f(2)＝f(...
