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高考数学 专题1.7 一题多变利用导数研究单调性小题大做-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学 专题1.7 一题多变利用导数研究单调性小题大做-人教版高三全册数学试题_第1页
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专题1.7一题多变利用导数研究单调性【经典母题】已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x(a≠0).若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围.【答案】a≥-.【解析】由h(x)在[1,4]上单调递减得,当x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立.设G(x)=-,所以a≥G(x)max,而G(x)=-1,因为x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-.【迁移探究1】若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;【答案】a>-1【迁移探究2】讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性;【解析】:h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h′(x)=-ax-2=当时,则在上递增,在递减;当时,当时,二次开口向上,则所以在(0,+∞)上递增;当0>时,所以有两个不等根且即两根都为正数,又二次开口向上,所以在当时,两根一正一负,,,又开口向下,所以在综上:(1)当时,二次开口向上,则所以在(0,+∞)上递增;(2)当0>时,在(3)当时,在上递增,在递减;(4)当时,在规律方法利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.方法一:转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”;方法二:转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上递增(减).方法一:转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题;方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.易错警示对于①:处理函数单调性问题时,应先求函数的定义域;对于②:h(x)在(0,+∞)上存在递减区间,应等价于h′(x)<0在(0,+∞)上有解,易误认为“等价于h′(x)≤0在(0,+∞)上有解”,多带一个“=”之所以不正确,是因为“h′(x)≤0在(0,+∞)上有解即为h′(x)<0在(0,+∞)上有解,或h′(x)=0在(0,+∞)上有解”,后者显然不正确;对于③:h(x)在[1,4]上单调递减,应等价于h′(x)≤0在[1,4]上恒成立,易误认为“等价于h′(x)<0在[1,4]上恒成立”.【变式训练】1.设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,2]B.(4,+∞]C.[-∞,2)D.(0,3]【答案】A【解析】 f(x)=x2-9lnx,∴f′(x)=x-(x>0),当x-≤0时,有00且a+1≤3,解得1e2017f(0)B.f(1)>ef(0),f(2017)>e2017f(0)C.f(1)>ef(0),f(2017)0,解得a>-.所以实数a的取值范围是.8.设函数f(x)=x3-x2+1.设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,则实数a的取值范围【答案】(-∞,-2).【解析】g′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立,即x∈(-2,-1)时,a<...

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