专题1.7一题多变利用导数研究单调性【经典母题】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.【答案】a≥－.【解析】由h(x)在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立.设G(x)＝－，所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，因为x∈[1，4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.【迁移探究1】若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；【答案】a>－1【迁移探究2】讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调性；【解析】：h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2=当时，则在上递增，在递减；当时，当时，二次开口向上，则所以在(0，＋∞)上递增；当0>时，所以有两个不等根且即两根都为正数，又二次开口向上，所以在当时，两根一正一负，，，又开口向下，所以在综上：(1)当时，二次开口向上，则所以在(0，＋∞)上递增；(2)当0>时，在(3)当时，在上递增，在递减；(4)当时，在规律方法利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上递增(减).方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.易错警示对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h′(x)≤0在(0，＋∞)上有解即为h′(x)<0在(0，＋∞)上有解，或h′(x)＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.【变式训练】1.设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1，2]B.(4，＋∞]C.[－∞，2)D.(0，3]【答案】A【解析】 f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0
0且a＋1≤3，解得1e2017f(0)B.f(1)>ef(0)，f(2017)>e2017f(0)C.f(1)>ef(0)，f(2017)0，解得a>－.所以实数a的取值范围是.8.设函数f(x)＝x3－x2＋1.设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围【答案】(－∞，－2).【解析】g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<...
