一个有用的向量命题周万忠命题：在△ABC中，设D是BC的中点，则。证明：如下图所示。由，得。又D是BC中点，得这一命题在有关向量的计算、证明中有广泛的应用，现举例说明。例1设ABCD是一个四边形，点M、N分别是对角线AC和BD的中点，试证明。证明：如下图，设AC、BD交于O点∵M、N分别是AC、BD的中点，∴∴，即。又，那么。∴。例2在△ABC中，a、b、c分别为三内角A、B、C的对边，G是△ABC的重心，且，求证△ABC为等边三角形。证明：先证。如下图，延长AG交BC于D，D为BC中点，则。依三角形重心的性质，可得，从而。∴因不共线，所以∴△ABC是正三角形。用心爱心专心115号编辑1例3在等腰△ABC中，BD、CE是两腰的中线，且BD⊥CE，求顶角A的余弦值。解：如下图，设，则∵D、E分别是AC、AB的中点∴同理因，所以，于是。例4点O在△ABC内部，且有，则_________。解：如下图，设D、E分别是AC、BC的中点，则，。∴，可知O、D、E三点共线，且。由上可知，而，可得。用心爱心专心115号编辑2
