2.2.3-2.2.4平面与平面平行的性质[课时作业][A组基础巩固]1．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，则()A．平面α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于平面αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与平面α相交解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于平面α.应选B.答案：B2.如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．2＋B．3＋C．3＋2D．2＋2解析： AB＝BC＝CD＝AD＝2，∴四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB.又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF.∴EF∥AB.又 E为SA的中点，∴EF＝AB＝1.又 △SAD和△SBC都是等边三角形，∴DE＝CF＝2×sin60°＝，∴四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝2＋＋1＋＝3＋2.答案：C3．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有解析：直线a和该交点确定一个平面，由线面平行的性质可得，此平面与平面α的交线与a平行，故至多有一条．答案：B4．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数多条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：因为α∥β，所以两平面无公共点．因为a⊂α，B∉a，所以过a与B可以确定一个平面γ，设γ∩β＝l，γ∩α＝a，由面面平行的性质定理可知a∥l，且l是过点B的直线．答案：D5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.答案：D6.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，MN＝5.答案：57．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中点，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．解析：画出正方体，取A1D1中点为R(图略)，则PQR为等腰直角三角形，且两腰PR＝QR＝，故PQ＝.答案：8.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________.解析：由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，＝2＝2＝.答案：9．已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.求证：CD∥α.证明：连接AD交平面α于G，连接GE，GF， AB∥α，平面ADB∩α＝GF，AB⊂平面ADB.∴AB∥GF.又 F为BD中点，∴G为AD中点．又 AC与AD是相交直线，确定的平面ACD∩α＝EG，E为AC中点，G为AD中点，∴EG为△ACD中位线，∴EG∥CD.⇒CD∥平面α.10．如图所示，在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABCA1B1C1中，BB1∥截面A1EDC1，求截面A1EDC1截棱台ABCA1B1C1成两部分的体积之比．解析：设三棱台的上、下底面的面积分别为S1和S2，高为h. ＝，∴＝，∴S2＝4S1.∴V三棱台ABCA1B1C1＝(S1＋＋S2)＝(S1＋＋4S1)＝. BB1∥截面A1EDC1，BB1⊂侧面BCC1B1，且侧面BCC1B1与截面交于C1D，∴BB1∥C1D.同理可证BB1∥A1E，∴C1D∥A1E. 两底面互相平行，∴A1C1∥DE.∴截面A1EDC1是平行四边形，∴A1C1＝ED.同样可以证明B1C1＝BD，A1B1＝EB，即△A1B1C1≌△EBD.∴多面体BDEB1C1A1是棱柱，有S△A1B1C1＝S△BDE＝S1. 三棱柱BDEB1C1A1...
