第七节正弦定理和余弦定理[考情展望]1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力．一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cosC．变形形式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③＝.cosA＝；cosB＝；cosC＝.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．二、三角形常用面积公式1．S＝a·ha(ha表示边a上的高)；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.3．S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，＝－.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A、B、C≠)．1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A.B.C．－D．－【解析】由正弦定理，得sinB＝＝. a＞b，A＝60°，∴B＜60°，cosB＝＝.【答案】A2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定【解析】 bsinA＝24sin45°＝12＜18，∴bsinA＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】B3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝()A．2B．4＋2C．4－2D.－【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.【答案】A4．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝AB·BCsin120°＝×5×3×＝.【答案】5．(2013·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于()A.B.C.D.【解析】在△ABC中，a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)． 2asinB＝b，∴2sinAsinB＝sinB.∴sinA＝.又△ABC为锐角三角形，∴A＝.【答案】D6．(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】 bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝＝a＝asinA，∴sinA＝1. A∈(0，π)，∴A＝，即△ABC是直角三角形．【答案】B考向一[065]利用正、余弦定理解三角形(2014·临沂模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【思路点拨】(1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解．(2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解．【尝试解答】(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB.所以tanB＝，所以B＝.(2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.规律方法11.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练(1)△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a的值()A.B.C.D．1(2)已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC等于()A.B．－C.D．－(3)(2014·南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】(1)法一 c2＝a2＋b2－2abcosC，∴()2＝a2＋1－2acos，∴a2＋a－2＝0，∴(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.法二由正弦定理＝得sinB＝＝. b＜c，∴B＜C，∴B＝.又A＋B＋C＝π...
