考点测试15导数的应用(一)一、基础小题1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案A解析f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．2．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)＝＋lnx(x>0)，f′(x)＝－＋＝，x>2时，f′(x)>0，这时f(x)为增函数；0
0时，f′(x)＝ex－1>0，x<0时，f′(x)＝ex－1<0，即函数在x＝0处取得极小值，f(0)＝1.又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，综合比较得函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是e－1.故选D.4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案C解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C.5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则f(x)的图象可能是()答案D解析当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－)∪[，＋∞)B．[－，]C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－，)答案B解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，－≤a≤.7．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．答案C解析 f(x)＝－x2＋x＋1，∴f′(x)＝x2－ax＋1.若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则f′(x)＝x2－ax＋1在区间内有零点，由f′(x)＝x2－ax＋1＝0，可知a＝x＋. 函数y＝x＋在上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴y∈，即2≤a<.当a＝2时，由f′(x)＝0解得x＝1，而f(x)在，(1,3)上单调性相同，故不存在极值点，则a≠2.综上可知，21，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅰ]若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B．[－1，]C．D．答案C解析函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，则g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.故选C.10．[2015·全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案A解析令g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数． f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0，∴g(1)＝＝0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.又 g(－x)＝＝＝＝g(x)，∴g(x)是偶函数，∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)<0，从而f(x)>0；当x∈(－1,0)时，g(x)>0，从而f(x)<0.综上，所求x的取值范围是(－∞...
