高二数学复数的应用（文）人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：复数的应用掌握复数的基本概念及运算法则，理解复数模的几何意义；能运用复数的有关概念解题。二.考点分析1.复数及分类形如的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足。2.复数相等的充要条件。特别地。3.复数的模：向量的长度叫做复数）的模，即注：（1）；（2）；（3）；（4）。4.复数与点的轨迹（1）两点间的距离公式：；（2）线段的中垂线：；（3）圆的方程：（以点P为圆心，r为半径）；（4）椭圆：（2a为正常数，）；（5）双曲线：（2a为正常数，）。5.共轭复数及其运算性质与互为共轭复数，且，它的运算性质有：，，6.i的幂。7.的性质记，则，，，，，。【典型例题】例1、已知复数z满足z+|z|=2+8i，求|z|2.【思考与分析】常规解法为：设z=a+bi（a，b∈R），代入等式后，可利用复数相等的充要条件求a，b；用心爱心专心在这里，我们还可以运用模的性质解题.【小结】此题为解简单的复数方程，题中涉及z，，|z|，|z±m|（m∈R），|z|2等，均可用所设z的实部和虚部表示，使方程化为关于a，b的二元方程组，求解即得a，b的值.第二种解法较为巧妙，利用|z|∈R，移项后即为右边复数实部的一部分，再取模即化成关于|z|的方程，求解即可.两种解法的原理一致，都是把复数问题转化为实数问题解决，区别是方法不同，前者是利用复数相等的充要条件，后者是利用复数的性质，这两种方法是解决复数问题常用的方法.例2.设复数z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），则、、的关系是（）.【思考与分析】这是一个容易混淆的问题，往往容易记错结论.可以按题目的要求，把它们分别用实数a，b的式子表示出来后，再做判断.【反思】因为受习惯的影响，往往遇到“平方”就认为是非负值，这在复数范围内是一大忌，一定要切记“虚数不能比较大小”，本题的结论|z2|=|z|2是一个很重要的公式，应该记住，应用此结论及|zn|=|z|n，可以将复数的高次幂的模化为非负实数的幂.例3、1、判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）互为共轭复数的两复数之差为纯虚数；（2）复数x1+y1i与x2+y2i相等的充要条件是x1=x2，y1=y2；（3）设m∈R，m与mi对应，则从实数集到纯虚数集的映射是一一映射；（4）任何数的偶次幂都大于0.【解析】（1）此命题是错的，因为当z=a（a∈R）时，=a，则z-=0不是纯虚数，应有以下结论：互为共轭复数的两数之差为纯虚数或0.（2）此命题是错的，因为没有说明x1，y1，x2，y2均是实数，所以x1，x2不一定是实部，y1，y2不一定是虚部，不符合复数相等的充要条件.（3）此命题是错的，因为m=0时，则0i为实数，不属于纯虚数集，所以0在纯虚数集中没用心爱心专心有象.（4）此命题是错的，当b∈R，b≠0时，纯虚数bi的平方为（bi）2=-b2<0.【小结】解此概念性题目，要周密考虑符合题设条件的各种情况，尤其是特殊情况，如（3）中m=0时和（4）中的纯虚数等就不能得到命题中的结论；其次要牢记定义、性质中对条件的要求，不能有丝毫走样.如（2）中的x1，y1，x2，y2等数没指明是实数，所以（2）不符合复数相等所规定的条件.2、下列命题正确的是（）.A.任何两个复数都不能比较它们的大小B.复数的模都是正实数C.因为互为共轭的两个复数的模相等，所以模相等的复数必为共轭复数D.模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都是相等的向量【解析】由于复数集合包括实数和虚数，A选项对于复数集合的子集实数集合不成立，A错.复数z=0，它的模为0，而0却不是正实数，B错.C选项的前半部分正确，但是模相等的复数未必是互为共轭复数；例如z1=3+4i和z2=i，|z1|=|z2|=5，由定义知它们的实部不相等，虚部不是互为相反数，所以z1与z2不是共轭复数.由向量相等的定义，D正确.【小结】如果两个复数至少有一个是虚数，则无法比较大小，如果可比较，那么它们一定全为实数，这点要注意.零向量应给予重视，它的方向是任意的.例4、下列命题：（1）两个复数不能比较大小；（2）若z=a+bi，则仅当a=0，b≠0时，z为纯虚数；（3）若（z1-z2）2+（z2-z3）2=0，则z1=z2=z3；（4）x+yi=1x=y=1；（5）若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的...
