【高考领航】2017届高考数学大一轮复习演练经典习题5文北师大版1．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC·DB＋AD·CB＝8，求k的值．解：(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝.又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)，所以AC·DB＋AD·CB＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋.由已知得6＋＝8，解得k＝±.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(，)．(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,2)．连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．解析：(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以＋＝1.故a2＝8，b2＝4，从而椭圆C的方程为＋＝1.(2)一定有唯一的公共点．理由：由题意知，点E坐标为(x0,0)．设D(xD,0)，则AE＝(x0，－2)，AD＝(xD，－2)．再由AD⊥AE知，AE·AD＝0，即xDx0＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝－.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG＝＝.又因为点Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋2y＝8.①从而kQG＝－.故直线QG的方程为y＝－.②将②代入椭圆C的方程，化简，得(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x＝0.解得x＝x0，则y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．3．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知＝1，即a＝2b2.又e＝＝，所以a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(－，0)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.由题意知＝.由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.所以＝.因为－，所以l与直线PA，PB一定相交．分别联立方程组，，解得D，E的横坐标分别是xD＝，xE＝，则xE－xD＝(1－t).又|FP|＝－－t，有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝·.又S△QAB＝·4·＝，于是＝·＝·.对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，即只需t满足解得t＝－1.此时＝2，故存在t＝－1，使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.
