压轴题冲关系列(二)(时间：45分钟分数：60分)1．(2015·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝lnx－ax2－x(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)在(1，－2)处的切线方程；(2)当a≤0时，讨论函数f(x)的单调性；(3)问当a＞0时，函数y＝f(x)的图象上是否存在点P(x0，f(x0))，使得以点P为切点的切线l将y＝f(x)的图象分割成C1，C2两部分，且C1，C2分别位于l的两侧(仅点P除外)？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx－x2－x，f′(x)＝－2x－1，函数f(x)在(1，－2)处的切线斜率为k＝1－2－1＝－2，则函数f(x)在(1，－2)处的切线方程为y＋2＝－2(x－1)，即为y＝－2x.(2)f′(x)＝－2ax－1＝(x＞0)，①当a＝0时，f′(x)＝，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)递增，当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)递减．②当a＜0时，令f′(x)＝0，即－2ax2－x＋1＝0，当Δ＝1＋8a≤0时，即a≤－，－2ax2－x＋1≥0在(0，＋∞)恒成立，即f′(x)≥0在(0，＋∞)恒成立，f(x)在(0，＋∞)递增；当Δ＝1＋8a＞0，即－＜a＜0时，－2ax2－x＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，f′(x)＝(x＞0)且x1＞0，x2＞0，x1＜x2，则0＜x＜x1，f′(x)＞0，f(x)递增，x1＜x＜x2，f′(x)＜0，f(x)递减．综上可得，a＝0，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；a≤－时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)；－＜a＜0时，f(x)的递增区间为，，f(x)的递减区间为.(3)f′(x)＝－2ax－1，P(x0，f(x0))，在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，且g(x0)＝0，g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝－2ax－1－＋2ax0＋1＝－(x－x0)·(x＞0)，由a＞0，当0＜x＜x0，f′(x)＞0，g(x)递增，当x＞x0，f′(x)＜0，g(x)递减，故g(x)≤g(x0)＝0，即f(x)≤f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，也就是y＝f(x)的图象永远在切线的下方．故不存在这样的点P.2．(2015·黑龙江齐齐哈尔一模)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，短轴两端点B1，B2，已知F1，F2，B1，B2四点共圆，且点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5.(1)求椭圆G的方程；(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆相交于不同的两点E，F，Q为EF的中点，问E，F两点能否关于过点P，Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．解：(1) F1，F2，B1，B2四点共圆，∴b＝c，∴a2＝2b2.∴椭圆G的方程为＋＝1.设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，则＋＝1，∴|PN|2＝x＋(y0－3)2＝2b2＋(y0－3)2＝－(y0＋3)2＋18－2b2， －b≤y0≤b，∴当－b≥－3，即03时，y＝－3时，|PN|＝2b2＋18，由2b2＋18＝50，得b＝4.∴椭圆G的方程为＋＝1，(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，设E，F能关于直线PQ对称，则kPQ·kEF＝－1且PQ经过EF中点．由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－32＝0. Δ>0，∴m2<32k2＋16，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，∴EF中点Q，∴kPQ＝＝， PQ⊥EF，∴kPQ·kEF＝－1，即＝－1，即m＝－(1＋2k2)，代入Δ>0得<32k2＋16，解得k2<，∴－0时，(x－k＋1)f′(x)＋x＋1>0恒成立，其中f′(x)为f(x)的导函数，求k的最大值．解：(1)f(x)＝ex－x－2，x∈R，f′(x)＝ex－1，x∈R，f′(0)＝0，曲线f(x)在点A(0，－1)处的切线方程为y＝－1.(2)当x>0时，ex－1>0，所以不等式可以变形如下：(x－k＋1)f′(x)＋x＋1>0⇔(x－k＋1)(ex－1)＋x＋1>0⇔k<＋x＋1.①令g(x)＝＋x＋1，则g′(x)＝＋1＝.函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增，而h(1)<0，h(2)>0.所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈(1,2)．当x∈(0，a)时，g′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)>0；所以，g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(a)．由g′(a)＝0，可得ea＝a＋2，所以，g(a)＝a＋2∈(3,4)．由于①式等价于kb>0)经过点，离心率为，左、右焦点分别为F1...
