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高考数学二轮专题复习 提能增分篇 突破三 大题冲关-解答题的应对技巧 压轴题冲关系列2 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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压轴题冲关系列(二)(时间:45分钟分数:60分)1.(2015·山东潍坊一模)已知函数f(x)=lnx-ax2-x(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)在(1,-2)处的切线方程;(2)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)问当a>0时,函数y=f(x)的图象上是否存在点P(x0,f(x0)),使得以点P为切点的切线l将y=f(x)的图象分割成C1,C2两部分,且C1,C2分别位于l的两侧(仅点P除外)?若存在,求出x0的值;若不存在,说明理由.解:(1)当a=1时,f(x)=lnx-x2-x,f′(x)=-2x-1,函数f(x)在(1,-2)处的切线斜率为k=1-2-1=-2,则函数f(x)在(1,-2)处的切线方程为y+2=-2(x-1),即为y=-2x.(2)f′(x)=-2ax-1=(x>0),①当a=0时,f′(x)=,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)递减.②当a<0时,令f′(x)=0,即-2ax2-x+1=0,当Δ=1+8a≤0时,即a≤-,-2ax2-x+1≥0在(0,+∞)恒成立,即f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,f(x)在(0,+∞)递增;当Δ=1+8a>0,即-<a<0时,-2ax2-x+1=0的两根为x1=,x2=,f′(x)=(x>0)且x1>0,x2>0,x1<x2,则0<x<x1,f′(x)>0,f(x)递增,x1<x<x2,f′(x)<0,f(x)递减.综上可得,a=0,f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+∞);a≤-时,f(x)的递增区间为(0,+∞);-<a<0时,f(x)的递增区间为,,f(x)的递减区间为.(3)f′(x)=-2ax-1,P(x0,f(x0)),在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0),令g(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0)-f(x0),且g(x0)=0,g′(x)=f′(x)-f′(x0)=-2ax-1-+2ax0+1=-(x-x0)·(x>0),由a>0,当0<x<x0,f′(x)>0,g(x)递增,当x>x0,f′(x)<0,g(x)递减,故g(x)≤g(x0)=0,即f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0),也就是y=f(x)的图象永远在切线的下方.故不存在这样的点P.2.(2015·黑龙江齐齐哈尔一模)已知椭圆G:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,短轴两端点B1,B2,已知F1,F2,B1,B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5.(1)求椭圆G的方程;(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆相交于不同的两点E,F,Q为EF的中点,问E,F两点能否关于过点P,Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.解:(1) F1,F2,B1,B2四点共圆,∴b=c,∴a2=2b2.∴椭圆G的方程为+=1.设P(x0,y0)是椭圆上任意一点,则+=1,∴|PN|2=x+(y0-3)2=2b2+(y0-3)2=-(y0+3)2+18-2b2, -b≤y0≤b,∴当-b≥-3,即03时,y=-3时,|PN|=2b2+18,由2b2+18=50,得b=4.∴椭圆G的方程为+=1,(2)设l:y=kx+m(k≠0),设E,F能关于直线PQ对称,则kPQ·kEF=-1且PQ经过EF中点.由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0. Δ>0,∴m2<32k2+16,设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,∴EF中点Q,∴kPQ==, PQ⊥EF,∴kPQ·kEF=-1,即=-1,即m=-(1+2k2),代入Δ>0得<32k2+16,解得k2<,∴-0时,(x-k+1)f′(x)+x+1>0恒成立,其中f′(x)为f(x)的导函数,求k的最大值.解:(1)f(x)=ex-x-2,x∈R,f′(x)=ex-1,x∈R,f′(0)=0,曲线f(x)在点A(0,-1)处的切线方程为y=-1.(2)当x>0时,ex-1>0,所以不等式可以变形如下:(x-k+1)f′(x)+x+1>0⇔(x-k+1)(ex-1)+x+1>0⇔k<+x+1.①令g(x)=+x+1,则g′(x)=+1=.函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0.所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为a,则a∈(1,2).当x∈(0,a)时,g′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0;所以,g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(a).由g′(a)=0,可得ea=a+2,所以,g(a)=a+2∈(3,4).由于①式等价于kb>0)经过点,离心率为,左、右焦点分别为F1...

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