专题提能二三角与向量的创新考法与学科素养一、选择题1．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．－8B．8C．－8或8D．6解析：由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，可得2×5cosθ＝－6⇒cosθ＝－.又θ∈[0，π]，所以sinθ＝.从而|a×b|＝2×5×＝8.答案：B2．已知外接圆半径为R的△ABC的周长为(2＋)R，则sinA＋sinB＋sinC＝()A．1＋B．1＋C.＋D.＋解析：由正弦定理知a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)＝(2＋)R，所以sinA＋sinB＋sinC＝1＋，故选A.答案：A3．设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A.B.C.D．0解析：设S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，若S的表达式中有0个a·b，则S＝2a2＋2b2，记为S1，若S的表达式中有2个a·b，则S＝a2＋b2＋2a·b，记为S2，若S的表达式中有4个a·b，则S＝4a·b，记为S3.又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2(a－b)2＞0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2＞0，S2－S3＝(a－b)2＞0，所以S3＜S2＜S1，故Smin＝S3＝4a·b，设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cosθ＝4|a|2，即cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：B4．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90˚，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋PB|的最小值为()A．5B．4C．3D．6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则PA＋3PB＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|PA＋3PB|＝(0≤y≤b)．当y＝b时，|PA＋3PB|min＝5.答案：A二、填空题5．(2018·石家庄质检)非零向量m，n的夹角为，且满足|n|＝λ|m|(λ＞0)，向量组x1，x2，x3由一个m和两个n排列而成，向量组y1，y2，y3由两个m和一个n排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3所有可能值中的最小值为4m2，则λ＝________.解析：由题意，x1·y1＋x2·y2＋x3·y3的运算结果有以下两种可能：①m2＋m·n＋n2＝m2＋λ|m||m|cos＋λ2m2＝(λ2＋＋1)m2；②m·n＋m·n＋m·n＝3λ|m|·|m|cos＝m2.又λ2＋＋1－＝λ2－λ＋1＝(λ－)2＋＞0，所以m2＝4m2，即＝4，解得λ＝.答案：6．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90˚，则a⊙b＝a2＋b2；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a，b〉＝90˚，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90˚，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤＝2|a|2，所以③成立；④中，因为a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a＋b)，b〉＝，所以(a＋b)⊙b＝3××＝，所以④不成立．故真命题的序号是①③.答案：①③7．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．解析：由e1·e1＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(e1－e2)·＝－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.答案：8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α。β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角θ∈，且a。b和b。a都在集合中，则a。b＝________.解析：a。b＝＝＝，①b。a＝＝＝.② θ∈，∴＜cosθ＜1.又|a|≥|b|＞0，∴0＜≤1.∴0＜cosθ＜1，即0＜b。a＜1. b。a∈，∴b。a＝.①×②，得(a。b)×(b。a)＝cos2θ∈，∴＜(a。b)＜1，即1＜a。b＜2，∴a。b＝.答案：9．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：...
