一二维形式的柯西不等式一、选择题1.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是()A.B.C.D.解析:2x2+3y2=[(x)2+(y)2][()2+()2]×x+y)2=(x+y)2=.当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立.答案:B2.函数y=+2的最大值是()A.B.C.3D.5解析:根据柯西不等式,知y=1×+2×≤,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案:B3.已知x,y>0,且xy=1,则的最小值为()A.4B.2C.1D.1解析:≥=22=4,当且仅当x=y=1时等号成立.答案:A4.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是()A.B.2C.D.3解析:2x+y=x+1×y≤,当且仅当y=x,即x=y=时等号成立,即2x+y取到最大值.答案:C5.如果实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为()A.B.C.D.解析:由柯西不等式,得(mx+ny)2≤(m2+n2)(x2+y2)=ab,当m=n=,x=y=时,mx+ny=.答案:B二、非选择题6.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.解析:由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,即5(m2+n2)≥25,2∴m2+n2≥5,当且仅当an=bm时,等号成立.∴的最小值为.答案:7.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为.解析:由柯西不等式得(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]·=(3x2+2y2)·≤6×=11.当且仅当3x=4y,即x=,y=时等号成立.因此2x+y的最大值为.答案:8.函数y=3+4的最大值为.解析:∵y2=(3+4)2≤(32+42)[()2+()2]=25(x-5+6-x)=25,当且仅当3=4,即x=时等号成立.∴函数y的最大值为5.答案:539.已知θ为锐角,a,b>0,求证:(a+b)2≤.解：证明:设m=,n=(cosθ,sinθ),则|a+b|==|m·n|≤|m||n|==,当且仅当a=kcos2θ,b=ksin2θ,k∈R时等号成立.∴(a+b)2≤.10.已知x∈,试求函数f(x)=3cosx+4的最大值,并求出相应的x的正弦值.解:设m=(3,4),n=(cosx,),则f(x)=3cosx+4=m·n=|m·n|≤|m||n|==5,当且仅当m∥n时取等号,此时,3=4cosx,∴sinx=.4∴当sinx=时,函数f(x)=3cosx+4取最大值5.5
