一二维形式的柯西不等式一、选择题1
已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是()A
解析:2x2+3y2=[(x)2+(y)2][()2+()2]×x+y)2=(x+y)2=
当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立
函数y=+2的最大值是()A
5解析:根据柯西不等式,知y=1×+2×≤,当且仅当=2,即x=时,等号成立
已知x,y>0,且xy=1,则的最小值为()A
1解析:≥=22=4,当且仅当x=y=1时等号成立
已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是()A
3解析:2x+y=x+1×y≤,当且仅当y=x,即x=y=时等号成立,即2x+y取到最大值
如果实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为()A
解析:由柯西不等式,得(mx+ny)2≤(m2+n2)(x2+y2)=ab,当m=n=,x=y=时,mx+ny=
答案:B二、非选择题6
设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为
解析:由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,即5(m2+n2)≥25,2∴m2+n2≥5,当且仅当an=bm时,等号成立
∴的最小值为
设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为
解析:由柯西不等式得(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]·=(3x2+2y2)·≤6×=11
当且仅当3x=4y,即x=,y=时等号成立
因此2x+y的最大值为
函数y=3+4的最大值为
解析:∵y2=(3+4)2≤(32+42)[()2+()2]=25(x-5+6-x)=25,当且仅当3=4,即x=时等号成立
∴函数y的最大值为5
答案:539
