第5课时数学归纳法基础达标(水平一)1.用数学归纳法证明“+++…+<1(n∈N*,且n≥2)”时,第二步由n=k到n=k+1时不等式左端的变化是().A.增加了这一项B.增加了和两项C.增加了和两项,同时减少了这一项D.以上都不对【解析】当n=k时,不等式左端为+++…+;当n=k+1时,不等式左端为+++…+++.对比两式,可得结论.【答案】C2.某个命题与正整数n有关,若当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得().A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【解析】若原命题正确,则其逆否命题正确,所以若当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立;若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k(k∈N*)时该命题不成立,故选C.【答案】C3.已知f(n)=+++…+,则().A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)共有n+1项,当n=2时,f(2)=++1C.f(n)共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++【解析】结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母分别为n,n+1,…,n2的连续自然数,共有n2-n+1项,且f(2)=++.【答案】D4.对于不等式-.假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.【解析】将n=k+1代入左边的式子时,最后一项为,则左边的式子为++…+++,右边的式子为-.3【答案】++…+++>-11.在各项均为正的数列{an}中,其前n项和Sn满足Sn=.(1)求a1,a2,a3的值;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】(1)由S1=a1=,得=1.因为an>0,所以a1=1.由S2=a1+a2=得+2a2-1=0.又因为an>0,所以a2=-1.由S3=a1+a2+a3=得+2a3-1=0,所以a3=-.(2)猜想an=-(n∈N*).用数学归纳法证明如下:①当n=1时,a1=-=1,命题成立.②假设当n=k(k∈N*)时,ak=-成立.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=-,即ak+1=--+=-所以+2ak+1-1=0.又因为an>0,所以ak+1=-,即当n=k+1时,命题成立.由①②知,对任何的n∈N*,有an=-.4
