第27讲平面向量的概念及线性运算考点集训【p200】A组1．下列命题正确的是()A．若a、b都是单位向量，则a＝bB．若AB＝DC，则四点A、B、C、D构成平行四边形C．若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量D.AB与BA是两平行向量【解析】A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B，A，B，C，D四点可能共线，故B不对；C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D，因AB与BA方向相反，是平行向量，故D对．故选D.【答案】D2．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量OA平行的向量为()A.AB＋ACB.AB＋BC＋CDC.AB＋AF＋CDD.AB＋CD＋DE【解析】因为AB＋BC＋CD＝AD＝2AO＝－2OA，故选B.【答案】B3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝0【解析】BC＋BA＝2BP，移项得BC＋BA－2BP＝0，BC－BP＋BA－BP＝PC＋PA＝0.故选B.【答案】B4．已知向量e1、e2为不共线的单位向量，AB＝e1－ke2，CB＝2e1＋e2，CD＝3e1－e2，若A、B、D三点共线，则k的值为()A．2B．－3C．－2D．3【解析】BD＝CD－CB＝3e1－e2－2e1－e2＝e1－2e2.∵A、B、D三点共线，∴存在λ∈R，使AB＝λBD，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，∴解得k＝2.【答案】A5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b【解析】连接OC、OD、CD，由点C、D是半圆弧的三等分点，有∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且OA＝OC＝OD，则△OAC与△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以AD＝AO＋AC＝AB＋AC＝a＋b.【答案】D6．已知正方形ABCD的边长为1，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a－b＋c|＝________．1【解析】如图，a＋b＝c，所以|a－b＋c|＝|2a|，又|a|＝1，所以有|a－b＋c|＝2，故答案为2.【答案】27．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝4PA，则x＝________，y＝________．【解析】由BP＝4PA，得OP－OB＝4(OA－OP)，即OP＝OA＋OB，所以x＝，y＝.【答案】8．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设AB＝a，AC＝b.(1)试用a，b表示BC，AD，BE；(2)证明：B，E，F三点共线．【解析】(1)△ABC中，AB＝a，AC＝b，∴BC＝AC－AB＝b－a，AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b，BE＝BA＋AE＝－AB＋AC＝－a＋b.(2)证明：BE＝－a＋b，BF＝BA＋AF＝－AB＋AD＝－a＋＝－a＋b＝，∴BF＝BE，∴BF与BE共线，且有公共点B，∴B，E，F三点共线．B组1．如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量【解析】∵＝＝＝r,故选C.【答案】C2．如图，O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的2面积的比值为()A．3B．4C．5D．6【解析】∵D为AB的中点，∴OA＋OB＝2OD.∵OA＋OB＋2OC＝0，∴OC＝－OD.∴O是CD的中点，∴S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC，故选B.【答案】B3．已知△ABC中，D是BC边上的一点，AD＝λ，|AB|＝2，|AC|＝4，若记AB＝a，AC＝b，则用a，b表示BD所得的结果为()A.a－bB.a－bC．－a＋bD.a＋b【解析】由AD＝λ知AD是△ABC的角平分线，所以＝＝，所以BD＝BC＝(AC－AB)＝－a＋b，故选C.【答案】C4．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA＋GB＋GO；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA＝a，OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝3.【解析】(1)因为GA＋GB＝2GM，又2GM＝－GO，所以GA＋GB＋GO＝－GO＋GO＝0.(2)显然OM＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG＝OM＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG∥GQ，所以有且只有一个实数λ，使PG＝λGQ.而PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b，GQ＝OQ－OG＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.3
