高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程达标训练 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题VIP免费

一曲线的参数方程更上一层楼基础·巩固1已知某条曲线的参数方程为)1(21),1(21aayaax(其中a是参数)，则该曲线是()A.线段B.圆C.双曲线的一部分D.圆的一部分思路解析：将两式平方相减,得x2-y2=1.并且由|x|=21|a+a1|≥1,x≥1或x≤-1,从而易知结果.答案：C2已知某条曲线的参数方程为1,2322tytx(0≤t≤5)，则该曲线是()A.线段B.圆弧C.双曲线的一支D.射线思路解析：由参数方程1,2322tytx(0≤t≤5),消去参数t,得x-3y=5.又0≤t≤5,故1≤y≤26.故题中所给曲线是线段.答案：A3曲线C的方程为54,3222ttyttx(t∈R)，则曲线C的图象在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路解析：本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状,故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可.x=(t+1)2+2≥2,y=(t+2)2+1≥1,从而易知该曲线位于第一象限.答案：A4与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程（t为参数）为()A.tytx2cossinB.tytx2tan1tanC.tytx1D.tytx2sincos思路解析：所谓与方程x2+y-1=0等价,是指若把参数方程化为普通方程,形式一致,且x,y的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证.A.化为普通方程为x2+y-1=0,x∈［-1,1］,y∈［0,1］.B.化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈（-∞,1］.1C.化为普通方程为x2+y-1=0,x∈［0,+∞）,y∈（-∞,1］.D.化为普通方程为x2+y-1=0,x∈［-1,1］,y∈［0,1］.答案：B5将下列参数方程化为普通方程并说明它们分别表示怎样的曲线.(1)tytxsin,cos2(t为参数)；(2)x=22212,11ttyttx(t为参数)；(3)2,222tyttx(t为参数).思路分析：本题所给的题目中所体现的方法都是常见的一些将曲线的参数方程化为普通方程的方法,对于具体的将参数方程转化为普通方程的题目要视具体题目而去选择消去参数的方式.解：（1）由x=cos2t=1-sin2t=1-y2,知y2=-(x-1).由x=cos2t,可知0≤x≤1.故其普通方程为y2=-(x-1)(0≤x≤1),它表示的是以点(1,0)为顶点、开口向左的一条抛物线上的一段.（2）将两式平方相加,得x2+y2=1.由x=22212111ttt,得x≠-1.故其普通方程为x2+y2=1(x≠-1),它表示以原点为圆心、1为半径的圆（除去与x轴相交的左交点）.（3）将两式相减,得t=21(y-x-2).代入第二个方程,整理得x2-2xy+y2+4x-8y+12=0.6已知点Q是圆x2+y2=4上的动点，定点P(4,0)，若点M分PQ所成的比为1∶2，求点M的轨迹.思路分析：本题是比较典型的求轨迹问题,一个点的位置随另一点的位置的变化而变化,要求的是动点的轨迹,可以先求出其轨迹方程,然后根据方程得知其轨迹.解：设点Q(2cosθ,2sinθ),M(x,y),则由题意得.sin223,cos2223,211sin2,2112cos2yxyx即两式平方相加,得点M的轨迹方程为(23x-2)2+(23y)2=4,即(x-34)2+y2=916.故其轨迹为以点(34,0)为圆心、34为半径的圆.7已知实数x、y满足(x+1)2+(y-2)2=16，求3x+4y的最值.思路分析：这样的题目可考虑利用数形结合,把满足方程的x,y视为圆(x+1)2+(y-2)2=16上的动点,可考虑利用圆的参数方程来求解,也可引入向量来求解.2解：由题意,设.sin42,cos41yx代入3x+4y=3(-1+4cosθ)+4(2+4sinθ)=20cos(θ+α)+5.于是3x+4y的最大、最小值分别为25、15.综合·应用8如图2-1-3，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.图2-1-3思路分析：本题是一道很综合的题目.由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=2PN，即(PM)2=2(PN)2，结合图形由勾股定理转化为PO12-1=2(PO22-1).设P(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y)，则PM2=PO12-MO12=(x+2)2+y2-1.同理,PN2=(x-2)2+y2-1. PM=2PN，∴(x+2)2+y2-1=2［(x-2)2+y2-1］，即x2-12x+y2+3...