【优化探究】2016高考数学一轮复习8-7抛物线课时作业文一、选择题1．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y解析：由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，∴P的轨迹方程为x2＝8y.选C.答案：C2．(2015年成都质检)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为()A．6B．8C．10D．12解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2×3＝6，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝8，故选B.答案：B3．(2015年合肥质检)下列双曲线中，有一个焦点在抛物线x2＝2y准线上的是()A．8x2－8y2＝1B．20x2－5y2＝1C．2y2－2x2＝1D．5y2－20x2＝1解析：求出抛物线的准线，依次判断求解．抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－，所以双曲线的一个焦点是，即焦点在y轴上，排除A和B；双曲线2y2－2x2＝1即－＝1，焦点坐标是(0，±1)，排除C；双曲线5y2－20x2＝1即为－＝1，焦点坐标是，故选D.答案：D4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝()A．2B．3C．4D．5解析：依题意可得a＝b，即双曲线渐近线的斜率为±1，不妨令直线l的方程为y＝x，则由得或此时点P(4,4)，|PF|＝4＋1＝5，故选D.答案：D5．(2014年高考新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.B.C．3D．2解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.由题意，得△PHQ∽△PMF，则有＝＝，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.1答案：C二、填空题6．斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，线段AB的长为________．解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F(1,0)，则有直线l：y＝x－1.由消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6，|AB|＝x1＋x2＋2＝8.答案：87．(2014年烟台模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线与x轴交于点M，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AM|＝|AF|，则k的值为________．解析：设A(x0，y0)，又M，由抛物线定义得|AF|＝x0＋，因为|AM|＝|AF|，所以＝，两边平方并化简得y＝2，即＝，所以k＝＝±，故答案为±.答案：±8．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．解析：由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)．又点A(8,8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.∴直线l的方程为y＝(x－2)．①将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则xA＋xB＝，∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.答案：三、解答题9.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)， PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①y＝4x2，②2∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
