专题六函数的奇偶性与周期性【高频考点解读】从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.【热点题型】题型一函数奇偶性的判定例1、判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝lgx2＋lg；(2)f(x)＝(x－1)；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝.(4)易知f(x)的定义域是(－1,0)∪(0,1)， f(x)＝－，f(－x)＝－f(x)．【提分秘籍】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【举一反三】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．【热点题型】题型二函数奇偶性的应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝()A.B.C.D．1(3)已知偶函数f(x)在区间[0∞，＋)上单调递增，则满足f(2x－)＜f()的x的取值范围是()A．(∞－，0)B．(0，)C．(0,2)D．(∞，＋)【提分秘籍】根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【举一反三】在本例(1)中的条件下，求f(x)在R上的解析式．解：当x＞0时，－x＜0，又x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，即：－f(x)＝2x2＋x，∴f(x)＝－2x2－x.综上，f(x)＝.【热点题型】题型三函数的周期性例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【提分秘籍】1．深化奇函数和偶函数的定义(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．3．若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数．4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．【举一反三】已知函数f(x)是(∞∞－，＋)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f()＋f(－)的值为()A．－2B．－1C．1D．2【热点题型】题型四利用奇偶性破解函数的最值例4、设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.【提分秘籍】本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f(x)＝的解析式分解成1＋g(x)，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)max＋g(x)min＝0，突出转化思想，问题得到圆满解决．【举一反三】已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.【高考风向标】1．（·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1∞，＋)2．（·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．C【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)...
