第三讲诱导公式三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋α－α＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一诱导公式化简【例1-1】求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.法二sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－.【套路秘籍】---千里之行始于足下(2)法一cos＝cos＝cos＝cos(π＋)＝－cos＝－.法二cos＝cos＝cos＝－cos＝－.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.【例1-2】化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．【答案】－sin2α【解析】原式＝·(－sinα)·cosα＝－sin2α.【套路总结】(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用1．已知α为锐角，cos＝，则cos(π＋α)＝.【答案】－【解析】 cos＝sinα＝，且α为锐角，∴cosα＝，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－.2.化简：＝.【答案】－1【解析】原式＝＝＝＝－＝－·＝－1.3.计算：(1)sin(－)－cos(－)；(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(3)cos(－120°)sin(－150°)＋tan855°.【答案】（1）1（2）-2（3）－【解析】(1)原式＝－sin(4π＋)－cos(2π＋)＝－sin(π＋)－cos(π＋)＝sin＋cos＝＋＝1.(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3＋1＝－2.(3)原式＝cos120°(－sin150°)＋tan855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝－(－cos60°)sin30°＋tan135°＝－(－cos60°)sin30°＋tan(180°－45°)＝－(－cos60°)sin30°－tan45°＝×－1＝－.考向二诱导公式与定义同角综合【例2】（1）已知cosα＝，－<α<0，则的值为．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝.(3)已知f(α)＝(sinα≠0,1＋2sinα≠0)，则f＝.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1） －<α<0，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝－2.则＝＝－＝＝.（2）由已知得tanθ＝3，∴＝＝＝.（3） f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝.考向三凑角【例3】（1）已知sin＝，则cos的值为()A.B．－C．－D.（2）已知，求的值．（3）已知cos(α－75°)＝，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【答案】（1）B（2）（3）【解析】（1）因为sin＝，所以cos＝cos＝－sin＝－。（2）cos＝cos＝sin＝．（3） cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－＝－＝－．∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝．【套路总结】巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有与，与，与等；【举一反三】1．已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin2(π3+x)=¿¿A．14B．34C．−14D．−12【答案】A【解析】 已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin2(π3+x)=−sin(π6−x)+1−cos2(π3+x)¿−12+1−sin2(π6−x)=12−¿，故选：A．2.已知，则的值等于()A．B．C．D．【答案】D【解析】 ＋α－＝，∴cos＝cos＝－sin＝－．故选D．3.已知sin＝，求cos的值．【答案】【解析】 ＋α＋－α＝，∴－α＝－.∴cos＝cos＝sin＝.4.已知cos＝，求cos·sin的值．【答案】－【解析】cos·sin＝cos·sin＝－cos·sin＝－sin＝－cos＝－.【运用套路】---纸上得来终觉浅,...
