单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角α的终边上一点,则cos2α=()A.25B.-35C.35D.2❑√552.已知α∈R,sinα+2cosα=❑√102,则tan2α=()A.43B.34C.-34D.-433.(2019山东烟台一模)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后,所得图象关于y轴对称,且fπω=-12,则当ω取最小值时,函数f(x)的解析式为()A.f(x)=sin2x+π6B.f(x)=sin2x-π6C.f(x)=sin4x+π6D.f(x)=sin4x-π64.(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=❑√3,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为()A.3B.4C.❑√6+1D.❑√7+2❑√3二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)5.(2019广东中山期末)将函数f(x)=2sinx+π6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.函数g(x)的图象关于点-π12,0对称B.函数g(x)的周期是π2C.函数g(x)在0,π6上单调递增D.函数g(x)在0,π6上最大值是16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,下列结论正确的是()A.△ABC的边长可以组成等差数列B.⃗AB·⃗AC>0C.A7=B5=C3D.若b+c=8,则△ABC的面积是15❑√34三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式为弧田面积=12(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为4π3米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB的长是米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是平方米.8.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=asinx-2❑√3cosx的一条对称轴为x=-π6,f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈[0,π2]时,f(x)≥0.10.(15分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sinx+❑√3sinx+π2+sinx+π3,x∈R.(1)求f(2019π)的值;(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cosα的值.11.(15分)(2019广东揭阳二模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且a2=4❑√3S.(1)若C=60°,且b=1,求a边的值;(2)当cb=2+❑√3时,求∠A的大小.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.B因为点P(1,-2)是角α的终边上一点,所以sinα=-2❑√12+(-2)2=-2❑√55.所以cos2α=1-2sin2α=1-2×-2❑√552=-35.故选B.2.C sinα+2cosα=❑√102,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=52.用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,∴tan2α=sin2αcos2α=-34.故选C.3.C将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后,可得y=sinωx-ωπ6+φ的图象; 所得图象关于y轴对称,∴-ωπ6+φ=kπ+π2,k∈Z. fπω=-12=sin(π+φ)=-sinφ,即sinφ=12,|φ|<π2,φ=π6.∴-ωπ6=kπ+π3,k∈Z,得ω=-6k-2>0,k∈Z.则当ω取最小值时,取k=-1,可得ω=4,∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin4x+π6.故选C.4.C设∠ABC=α,∠ACB=β,则AC2=AB2+BC2-2·AB·BCcosα=4-2❑√3cosα.由正弦定理ACsinα=ABsinβ得sinβ=sinα❑√4-2❑√3cosα.所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosβ+π2=3+4-2❑√3cosα+2·❑√3·❑√4-2❑√3cosα·sinα❑√4-2❑√3cosα=7+2❑√3sinα-2❑√3cosα=7+2❑√6sinα-π4,故当α=3π4时,取得最大值为❑√6+1.故选C.5.ABD将函数f(x)=2sinx+π6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin2x+π6-1的图象,由于当x=-π12时,f(x)=-1,故函数g(x)的图象关于点-π12,-1对称,故A错误;函数g(x)的周期为2π2=π,故B错误;在0,π6上,2x+π6∈π6,π2,g(x)单调递增,故C正确;在0,π6上,2x+π6∈π6,π2,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.故选ABD.6.AD...
