2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质[A基础达标]1．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A．8，6B．4，3C．2，D．4，2解析：选B．过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．故选B．2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．x2＋＝1解析：选A．依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1．3．若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m等于()A．或B．C．D．或解析：选A．若焦点在x轴上，则02，所以a2＝m，b2＝2，所以c2＝m－2．因为e＝，所以＝，所以＝，所以m＝．4．已知焦点在x轴上的椭圆：＋y2＝1，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：选A．椭圆的焦点坐标为(±，0)，不妨设A，可得＋＝1，解得a＝2，椭圆的离心率为e＝＝．故选A．5．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是()A．B．C．D．解析：选C．在△PF1F2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a，根据余弦定理，得(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，配方得(m＋n)2－3mn＝4c2，所以3mn＝4a2－4c2，所以4a2－4c2＝3mn≤3·＝3a2，即a2≤4c2，故e2＝≥，解得≤e＜1．故选C．6．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．解析：由题意知a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b2＝3．又焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为＋＝1．答案：＋＝117．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________．解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆方程为＋＝1．又b＝2，故m＝20，得＋＝1．答案：＋＝18．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．已知点P(a，b)，△F1PF2为等腰三角形，则椭圆的离心率e＝________．解析：设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，由题意得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c．把b2＝a2－c2代入，整理得2＋－1＝0，解得＝－1(舍去)或＝．所以e＝＝．答案：9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为．解：(1)由题意知，2c＝8，c＝4，所以e＝＝＝，所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，所以椭圆的标准方程是＋＝1．(2)由已知所以从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的三个顶点B1(0，－b)，B2(0，b)，A(a，0)，焦点F(c，0)，且B1F⊥AB2，求椭圆的离心率．解：直线B1F的斜率为kB1F＝，直线AB2的斜率为kAB2＝－．因为B1F⊥AB2，所以kB1F·kAB2＝－1，即－＝－1，所以＝1，所以－＝1，即－e＝1．所以e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝．因为0
