集合与函数的概念一、基础知识梳理（一）集合1.集合的基本概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合.集合中元素必须具备以下三个特征：①确定性：指集合中的元素是确定的。对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“属于”与“不属于”两种情况，两者必居其一；②互异性：指给定的一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一元素；③无序性：集合中的元素无前后顺序之分.元素和集合的关系是∈和，二者有且只有一种成立。2.集合的表示方法集合的一般表示方法主要有:①列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.注意：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”。②描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.描述法的格式：｛x|p(x),x∈A｝，其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.③Venn图示法：用平面上封闭的曲线的内部直观形象地表示集合.3．集合间的基本关系①子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），则称集合A为集合B的子集，记作：AB或BA，读作：“集合A含于集合B”或“集合B包含集合A”；A与B不具有包含关系，记作：AB或BA。理解：若x∈Ax∈B,则AB规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有φA显然：任何一个集合都是自身的子集,即AA.②相等：若AB且BA，则A=B.③真子集：若AB且A≠B；则AB（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.有关性质：①AB且BA；②AB，BCAC；AB，BCAC.③若集合A有n个元素，则A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1个。4．集合的交、并、补运算①交集：由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x|x∈A,且x∈B｝；②并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x|x∈A,或x∈B｝；③补集：设U是一个集合，AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作，即.如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将U称为全集。交集、并集、补集的性质：①A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A.②A∩BA，A∩BB，A∪BA，A∪BB.③A∩B=AAB，A∪B=ABA④A∩=，A∪=U.⑤，⑥（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）。（二）函数及其表示1．函数的三要素构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.其中核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可。2．映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.对于映射这个概念，应明确以下几点：①映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.④映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”。象与原象：f：A→B，则A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。从象与原象的角度理解映射：①象存在且唯一；②B中某些元素可以没有原象。即A的象组成的集合是B的子集。3．函数与映射的区别与联系函数是特殊的...
