专题限时集训(三)等差数列、等比数列(建议用时：60分钟)一、选择题1．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.B.C.D.B[设公比为q(q＞0)，联立解得，则S5＝＝，故选B.]2．若Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2，则{an}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列又非等差数列B[因为Sn＝n2，所以a1＝S1＝1，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，当n＝1时上式也成立，所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，但不是等比数列，故选B.]3．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3,2a2成等差数列，则＝()A．6B．7C．8D．9D[∵3a1，a3,2a2成等差数列，∴a3＝3a1＋2a2，∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)．∴＝＝q2＝32＝9.]4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()A.升B.升C.升D.升A[自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A.]5．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d＜0B．d＞0C．a1d＜0D．a1d＞0C[{2a1an}为递减数列，可知{a1an}也为递减数列，又a1an＝a＋a1(n－1)d＝a1dn＋a－a1d，故a1d＜0，故选C.]6．(2018·泰安模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2018＝()A．92017B．272017C．92018D．272018D[由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2018＝33×2018＝272018，故选D.]7．(2018·自贡模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且a2＝－2，则a7等于()A．16B．32C．64D．128C[由题意知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即an＋2＝－2an＋1，故数列{an}从第2项起是公比为－2的等比数列．所以a7＝(－2)×(－2)5＝64.]8．(2018·武汉模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于()A.(2n－1)B.(1－24n)C.(4n－1)D.(1－2n)B[在数列{an}中，由a1＝1，an＋1＝2an，可得an＝2n－1，则Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a＝1－4＋16－64＋…＋42n－2－42n－1＝＝(1－42n)＝(1－24n)．故选B.]二、填空题9．(2018·黄山模拟)等比数列{an}满足an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则公比q＝________.2[由已知可得，解得或(舍去)，故＝＝4＝q2，故q＝2.]10．(2018·潍坊模拟)已知是等差数列，若a1＝1，a4＝4，则a10＝________.－[设的公差为d，由a1＝1，a4＝4得，3d＝－＝－，所以d＝－，从而＝＋9d＝－，故a10＝－.]11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和S6＝________.33[由题意知a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，∴S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝33.]12．(2018·南昌模拟)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan＝________.－[{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，∴a6＝，b6＝，∴tan＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.]三、解答题13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式．[解](1)由题意知解得故an＝2n－7(n∈N*)．(2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3，所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0.易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，S5＝－5，所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13.当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2；当n≥4时，Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18.故Tn＝14．(2018·东北三校联考)已知数列{an}的首项a1＞0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.[解](1)证明：记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，又b1＝－1＝－1＝，所以是首项为，公比为的等比数列．所以－1＝×n－1，即an＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，＝×n－1＋1.所以数列的前n项和Tn＝＋n＝＋n.
