等差数列及其前n项和时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织________尺布()A.B.C.D.【答案】D【解析】设从第2天起每天比前一天多织d尺布，则30×5＋d＝390.解得d＝，故选D.2.设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项和为()A.128B.80C.64D.56【答案】C【解析】法一因为S8＝＝4(a2＋a7)＝4×16＝64，法二{an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13，则公差d＝2，a1＝1，所以S8＝8a1＋d＝8＋56＝64.3.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则等于()A.4B.5C.8D.10【答案】A【解析】由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.所以S8＝8a1＋d＝8a1＋28d＝36d，所以＝＝＝4，选A.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线(该直线不经过点O)，则S200等于()A.100B.101C.200D.201【答案】A【解析】∵OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝＝100.5.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A.15B.30C.31D.64【答案】A【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，a7＋a9＝16，∴2a1＋14d＝16，a4＝1，∴a1＋3d＝1.两式相减，得a1＋11d＝15，即a12＝15.∴选A.6.已知函数f(x)＝cosx，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为()A.B.－C.D.－【答案】D【解析】若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝＝.所以m＝cos＝－，故选D.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）17.已知等差数列{an}，其中a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n的值为________.【答案】50【解析】在等差数列{an}中，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，所以d＝，又an＝＋(n－1)＝33，解得n＝50.8.数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n，若S20＝－360，则a2＝________.【答案】－1【解析】∵2Sn－nan＝n①∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1②∴①－②得，(2－n)an＋(n－1)an－1＝1③∴(1－n)an＋1＋nan＝1④∴③－④得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴数列{an}为等差数列，∵当n＝1时，2S1－a1＝1，∴a1＝1，∵S20＝20＋d＝－360，∴d＝－2.∴a2＝1－2＝－1.9.公差不为零的等差数列{an}的三项a1，a4，a16成等比数列，则的值是________.【答案】【解析】由已知得a＝a1·a16，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋15d)，∴d＝a1，∴＝＝.10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________.【答案】4或5【解析】由a4＝a1＋3d＝1，S5＝5a1＋10d＝10，得a1＝4，d＝－1，Sn＝4n－＝，∴n＝4或5时，Sn最大.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1)(c为常数).(1)证明：{}是等差数列；(2)若{an}是正数组成的数列，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得数列{}是等差数列，并说明理由.【答案】见解析【解析】(1)证明由nan＋1＝(n＋1)an＋cn(n＋1),可得＝＋c，即－＝c，所以是等差数列.(2)解由(1)可得＝1＋(n－1)c，则an＝n＋n(n－1)c.{}是等差数列的充要条件是＝an＋b，即a2n2＋2abn＋b2＝cn2＋(1－c)n⇒c＝1.12.已知等差数列{an}中，a2＋a6＝6,Sn为其前n项和，S5＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn
