[练案17]第三课时导数与函数的零点或方程的根、不等式A组基础巩固一、单选题1．(2020·贵州贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数f′(x)的大致图象如图所示．当1
0恒成立，则实数a的取值范围是(A)A．(－1，＋∞)B．(－∞，－1)C．[－1，＋∞)D．(－∞，－1][解析]f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(0)＝1＋a，若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.3．(2020·安徽省黄山市高三第一次质量检测)定义域为R的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式ex－1f(x)0，知g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，由ex－1f(x)1，故选C.二、多选题4．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则下列命题正确的是(BC)A．3f(1)f(3)C．2f(2)>f(4)D．3f(3)xf′(x)，则[]′＝<0恒成立，因此在R上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3)．同理2f(2)>f(4)，3f(3)>f(9)，选B、C.5．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值可能为(AB)A．3B．4C．5D．6[解析]2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4.三、填空题6．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是__(－∞，2ln_2－2]__.[解析]f(x)有零点可转化为方程ex－2x＋a＝0有解的问题，即a＝－ex＋2x有解．设g(x)＝－ex＋2x，g′(x)＝－ex＋2，g′(x)＝0得x＝ln2，因此g(x)在(－∞，ln2)递增，在(ln2，＋∞)递减，因此g(x)在ln2取得最大值，所以g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以a∈(－∞，2ln2－2]．7．已知x∈(0,2)，若关于x的不等式<恒成立，则实数k的取值范围是__[0，e－1)__.[解析]依题意，知k＋2x－x2>0，即k>x2－2x对任意x∈(0,2)恒成立，从而k≥0，因此由原不等式，得k<＋x2－2x恒成立．令f(x)＝＋x2－2x，则f′(x)＝(x－1)(＋2)．令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(1,2)时．f′(x)>0.函数f(x)在(1,2)上单调递增；当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k0，F(x)单调递增；当x∈(，1]时，F′(x)<0，F(x)单调递减．又F(0)＝0，F(1)>0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥x.记H(x)＝sinx－x，则H′(x)＝cosx－1.当x∈[0,1]时，H′(x)≤0，H(x)单调递减．所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x.综上，x≤sinx≤x，x∈[0,1]．9．已知函数f(x)＝lnx－＋，f(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围．[解析]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)<0在(1，＋∞)上恒成立等价于k<－xlnx在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝－xlnx，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝x－(lnx＋1)＝x－1－lnx，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝x－1－lnx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝1－＝，x∈(0，＋∞)．当01时，h′(x)>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴当x>1时，h(x)>h(1)＝0.即当x>1时，g′(x)>g′(1)＝0，∴函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)>g(1)＝，∴当x>1时，若使k<－xlnx恒成立，则k≤，即实数k的取值范围是(－∞，]．10．已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a≥1)．(1)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；(2)当a...
