第二章推理与证明能力深化提升类型一合情推理【典例1】(1)在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为α,β,则cos2α+cos2β=1,类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为α,β,γ,则有________.(2)(2017·宁波高二检测)两点等分单位圆时,有相应正确关系为sinα+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为sinα+sin+sin=0,由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为________.【解析】(1)我们将平面中的二维性质,类比推断到空间中的三维性质.由在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α,β,则有cos2α+cos2β=1.我们根据长方形性质可以类比推断出空间性质,因为长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1与过点A的三个面ABCD,AA1B1B,AA1D1D所成的角分别为α,β,γ,所以cosα=,cosβ=,cosγ=,所以cos2α+cos2β+cos2γ===2.答案:cos2α+cos2β+cos2γ=2(2)用两点等分单位圆时,关系为sinα+sin(π+α)=0,两个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π+α)-α=π,用三点等分单位圆时,关系为sinα+sin+sin=0,此时三个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差和第三个角与第1二个角的差相等,即有-=-α=.以此类推,可得当四点等分单位圆时,此四个角正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角为+α=+α,第三个角为+α+=π+α,第四个角为π+α+=+α,即其关系为sinα+sin+sin(α+π)+sin=0.答案:sinα+sin+sin(α+π)+sin=0【方法总结】归纳推理的特点及一般步骤【巩固训练】三角形的面积为S=(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为()A.V=abcB.V=ShC.V=(S1+S2+S3+S4)·r(S1,S2,S3,S4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)2【解析】选C.此题为平面几何与立体几何的类比,类比的知识有面积与体积,边长与面积,圆与球.【补偿训练】(2017·大庆高二检测)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出空间下列结论:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③垂直于同一条直线的两个平面互相平行;④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确的结论是()A.①②B.③④C.②③D.①④【解析】选C.①中两直线也可能相交或异面,①错误;④中两平面也可能相交,④错误,②③正确.类型二演绎推理【典例2】已知:sin230°+sin290°+sin2150°=,sin25°+sin265°+sin2125°=,通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:__________________________________________________________=(*)并给出(*)式的证明.【解析】一般形式:sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=.证明:左边=++=-[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]=-(cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2αcos240°-sin2α·sin240°)=-==右边,3所以原式得证.【方法总结】演绎推理应用的关注点演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.【巩固训练】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值x1,x2,…,xn总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f,则称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.【解析】因为[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f,(大前提)因为f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,(小前提)所以f(A)+f(B)+f(C)≤3f,(结论)即sinA+sinB+sinC≤3sin=,所以sinA+sinB+sinC的最大值是.答案:类型三综合法与分析法【典例3】(1)已知a,b,c为互不相等的非负数.求证:a2+b2+c2>(++).4(2)(2016·马鞍山高二检测)用分析法证明2cos(α-β)-=.【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,又因为a,b,c为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=”,所以a2+b2+c2>ab+bc+ac,因为ab+bc≥2,bc+ac≥2,ab+ac≥2,又a,b,c为互不相等的非负数,所以ab+bc+ac>(++),所以a2+b2+c2>(++).(2)要证原等式成立,只需证:2cos(α-β)sinα-sin(2α-β)=...
