高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题34空间中线线角、线面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重.其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一空间中线线角的求法方法一平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步得出结论.例1正四面体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成的角为A.B.C.D.【答案】B平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常转化为解三角形的问题处理，要注意异面直线所成角的范围为。【变式演练1】如图，四边形是矩形，沿直线将翻折成，异面直线与所成的角为,则（）A．B．C.D．【答案】B考点：异面直线所成角的定义及运用.【变式演练2】【2018年衡水联考】在棱长为1的正方体中，点，分别是侧面与底面的中心，则下列命题中错误的个数为（）①平面；②异面直线与所成角为；③与平面垂直；④．A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】对于①， DF，DF平面，平面，∴平面，正确；对于②， DF，∴异面直线与所成角即异面直线与所成角，△为等边三角形，故异面直线与所成角为，正确；对于③， ⊥，⊥CD，且CD=D，∴⊥平面，即⊥平面正确；对于④，，正确，故选：A【变式演练3】设三棱柱的侧棱与底面垂直，，，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【变式演练4】如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（）A.B.C.D.【答案】C方法二空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步再利用即可得出结论.例2、如图，直三棱柱中，，，点在线段上.（1）若是中点，证明：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析（2）（II）,故如图建立空间直角坐标系,,，令平面的法向量为，由，得设所以,，设直线与平面所成角为故当时，直线与平面所成角的正弦值为.考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.例3、如图，正方形的边长为2，分别为线段的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点．（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）详见解析（2）考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练4】已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．【答案】考点：异面直线及其所成的角【变式演练5】如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，设，所成的角为，则．考点：线面角.类型二空间中线面角的求法方法一垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步得出结论.例3如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.GFEDCBA（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1．证法3：（向量法）以为基底， ，∴∴，往...