第2课时简单的三角恒等变换A级·基础过关|固根基|1.(2019届广州市调研)已知α为锐角，cosα＝，则tan＝()A.B．3C．－D．－3解析：选A因为α是锐角，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝2，所以tan＝＝＝，故选A.2．已知sin2α＝，则cos2＝()A.B.C.D.解析：选Bcos2＝＝＝.故选B.3.＝()A.B.C.D．1解析：选A＝＝＝＝.4．(2020届陕西省百校联盟模拟)已知cos＝，则sin2α的值为()A.B.C．－D．－解析：选C解法一：依题意得(cosα－sinα)＝，两边平方得(cosα－sinα)2＝，即1－sin2α＝，sin2α＝－，故选C.解法二：sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝－，故选C.5．已知α，β均为锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，则β等于()A.B.C.D.解析：选A∵α为锐角且sinα＝，∴cosα＝.∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.又∵cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.又∵β为锐角，∴β＝.6．(一题多解)已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．解析：解法一：因为cos2θ＝，所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，所以cos2θ＝，sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝.解法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.答案：7．已知＝，tan(α－β)＝，则tanβ＝________．解析：因为＝，所以＝，即＝1，所以tanα＝1.又因为tan(α－β)＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.1答案：8．已知角α的终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝________．解析：由三角函数定义，sinα＝cos47°，cosα＝sin47°，则sin(α－13°)＝sinαcos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝.答案：9．已知tanα＝－，cosβ＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cosβ＝，β∈，得sinβ＝，所以tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以<α＋β<，所以α＋β＝.10．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此，tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.B级·素养提升|练能力|11.(2020届唐山市高三摸底)已知sin＝－3cos，则tan2α＝()A．－4B．－C．4D.解析：选A因为sin＝－3cos，所以sinα－cosα＝－3×cosα－3×sinα，则2sinα＝－cosα，所以tanα＝－，所以tan2α＝＝＝－4，故选A.12．(一题多解)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝()A.B．－C．－D.解析：选B解法一：∵sin＝(sinθ＋cosθ)＝，∴sinθ＋cosθ＝，①∴2sinθcosθ＝－.∵θ是第四象限角，∴sinθ<0，cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝－＝－，②由①②得sinθ＝－，cosθ＝，∴tanθ＝－，∴tan＝＝－.解法二：∵＋＝，2∴sin＝cos＝.∵θ是第四象限角，∴2kπ－<θ<2kπ，k∈Z，∴2kπ－<θ＋<2kπ＋，k∈Z，∴cos＝，∴sin＝，∴tan＝＝，∴tan＝－tan＝－.13．(2019年江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．解析：∵＝－，∴tanα＝－tan＝－·，整理得，3tan2α－5tanα－2＝0.∴tanα＝－或tanα＝2.sin＝(sin2α＋cos2α)＝·＝·.当tanα＝－时，sin＝；当tanα＝2时，sin＝.答案：14．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由f＝2cos＝2cosα＋＝－2sinα＝－，得sinα＝，又α∈，所以cosα＝.由f＝2cos＝2cosβ＝，得cosβ＝，又β∈，所以sinβ＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.34
