四渐开线与摆线[课时作业][A组基础巩固]1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A．πB．2πC．12πD．14π解析：当t＝0时，x＝0且y＝0.即点(0,0)在曲线上．答案：C2．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是()A．3B．6C．9D．12解析：由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：B3．圆(φ为参数)的渐开线方程是()A.(φ为参数)B.(φ为参数)C.(φ为参数)D.(φ为参数)解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为(φ为参数)．答案：C4．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为3，则点M的轨迹方程是()A.B.C.D.解析：易知点M的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C.答案：C5．当φ＝2π时，圆的渐开线(φ为参数)上的点是()A．(6,0)B．(6,6π)C．(6，－12π)D．(－π，12π)解析：当φ＝2π时，故选C.答案：C6．半径为5的圆的摆线的参数方程为________．解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为(φ为参数)．答案：(φ为参数)7．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的点的坐标为.答案：218．给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为(φ为参数)．9．求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．解析：当y＝2时，有2(1－cost)＝2，∴t＝或t＝.当t＝时，x＝π－2；当t＝时，x＝3π＋2.∴摆线与直线y＝2的交点为(π－2,2)，(3π＋2,2)．[B组能力提升]1．t＝π时，圆的渐开线上的点的坐标为()A．(－5,5π)B．(－5，－5π)C．(5,5π)D．(5，－5π)解析：将t＝π代入参数方程易得x＝－5，y＝5π.故选A.答案：A2．已知摆线的参数方程为(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是()A．2π，2B．2π，4C．4π，2D．4π，4解析：方法一由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y＝0，即1－cosφ＝0，解得φ＝2kπ(k∈Z)，不妨分别取k＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x1＝0，x2＝4π，所以摆线与x轴两个相邻交点的距离为4π，即摆线一个拱的宽度等于4π；又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时φ＝＝π，所以摆线一个拱的高度为|y|＝2(1－cosπ)＝4.答案：D3．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.答案：124．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝4＋π，y＝4－π，由此可得对应的坐标为(4＋π，4－π)．答案：16(4＋π，4－π)5．已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程．2解析：令y＝0得r(1－cosφ)＝0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．则x＝r(2kπ－sin2kπ)＝4，即得r＝(k∈Z)．又r>0，易知，当k＝1时，r取最大值为.圆的渐开线的参数方程...
