第二讲证明不等式的基本方法测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知,则下列不等式成立的是()A.a
0,即>0,则<0.答案D2.若a∈R,且p=,q=a2-a+1,则()A.p≥qB.p>qC.p≤qD.p0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+1≥1,所以q≥p.答案C13.(2017江西二模)求证,p=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若a≠,则一定有()A.p>qB.pb与ab与ab与a0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析因为f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数,且a3>0,所以f(a3)>f(0)=0,而a1+a5=2a3,所以a1+a5>0,则a1>-a5,于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.答案A26.要使成立,a,b应满足的条件是()A.ab<0,且a>bB.ab>0,且a>bC.ab<0,且a0,且a>b或ab<0,且a0时,有,即ba.答案D7.设a,b,c∈R,且a,b,c不全相等,则不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一个充要条件是()A.a,b,c全为正数B.a,b,c全为非负实数C.a+b+c≥0D.a+b+c>0解析a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],而a,b,c不全相等⇔(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2>0.故a3+b3+c3-3abc≥0⇔a+b+c≥0.答案C8.设a,b,c,d∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有()A.ad=bcB.adbcD.ad≤bc解析|a-d|<|b-c|(⇒a-d)2<(b-c)2⇒a2+d2-2adbc.答案C39.使不等式>1+成立的正整数a的最大值是()A.10B.11C.12D.13解析用分析法可证当a=12时不等式成立,当a=13时不等式不成立.答案C10.已知a,b,c∈(0,+∞),若,则()A.cb+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可得b>a,于是有cn,m,n∈N+,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,其中x>1,则()A.a>bB.a≥bC.a≤bD.a1,所以lgx>0.当lgx=1时,a-b=0,所以a=b;当lgx>1时,a-b>0,所以a>b;当00,所以a>b.综上,a≥b.答案B12.已知x,y>0,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥2(+1)B.xy≤+1C.x+y≤(+1)2D.xy≥+1解析由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y≥1+2,即()2-2-1≥0,所以+1,则xy≥(+1)2,排除B和D;因为xy=x+y+1≤,解得x+y≥2(+1).故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析因为x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x>1,所以(x-1)(x2+1)>0.因此x3-(x2-x+1)>0,即x3>x2-x+1.答案x3>x2-x+1514.设0f>f>f.答案f>f>f>f15.若a+b>a+b,则a,b应满足的条件是.解析因为a+b>a+b(⇔)2()>0⇔a≥0,b≥0,且a≠b.答案a≥0,b≥0,且a≠b16.设a,b为正数,α为锐角,M=,N=()2,则M,N的大小关系是.解析因为a>0,b>0,α为锐角,所以N=ab+2+2,M=ab+≥ab+2当且仅当时,等号成立.6又sin2α≤1,所以M≥ab+2+2=N,当且仅当a=b,且α=时,等号成立.答案M≥N三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设a>b>0,求证.证明因为a>b>0,所以>0,>0.又=1+>1,故.18.(本小题满分12分)设a,b>0,a≠b,求证>a+b.证明-(a+b)==(a3-b3)=,因为...
