1.相似三角形的判定课时过关·能力提升基础巩固1给出下列四个命题:①三边对应成比例的两个三角形相似;②一个角对应相等的两个直角三角形相似;③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;④一个角对应相等的两个等腰三角形相似.其中正确的命题是()A.①③B.①④C.①②④D.①③④解析很明显①和③都是判定定理,都正确;②中,若相等的角是直角,则不一定相似;④中,若相等的角中,在一个三角形中是顶角,在另一个三角形中是底角,则不一定相似,故选A.答案A2如图,点P为△ABC中的AB边上一点(AB>AC),下列条件中不能保证△ACP与△ABC相似的是()A.∠ACP=∠BB.∠APC=∠ACBC.ACAB=APACD.PCBC=ACAB解析D选项的条件缺少对应边的夹角∠B=∠ACP,故不能保证△ACP与△ABC相似.答案D13如图,已知在△ABC中,DE∥BC,点F是BC上一点,AF交DE于点G,则与△ADG相似的是()A.△AEGB.△ABFC.△AFCD.△ABC解析在△ABF中,DG∥BF,则△ADG∽△ABF.答案B4下列命题中,是真命题的为()A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似解析因为等边三角形的每个角都是60°,所以任意两个等边三角形都是有“两角对应相等”的三角形.故等边三角形都相似.故选D.答案D5如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,要使△ABC∽△CDB,BD应满足()A.BD=b2aB.BD=ba2C.BD=a2bD.BD=ab2解析 ∠ABC=∠CDB=90°,∴当ACBC=BCBD时,△ABC∽△CDB,即当ab=bBD时,△ABC∽△CDB,∴BD=b2a.答案A26如图,锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O,图中与△ODB相似的三角形有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析与△ODB相似的三角形有△AEB,△OEC,△ADC,共有3个.答案B7以下列条件为依据,能判定△ABC∽△A'B'C'的一组是()A.∠A=45°,AB=12cm,AC=15cm;∠A'=45°,A'B'=16cm,A'C'=25cmB.AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm;A'B'=20cm,B'C'=25cm,A'C'=32cmC.AB=2cm,BC=15cm,∠B=36°;A'B'=4cm,B'C'=5cm,∠A'=36°D.∠A=68°,∠B=40°;∠A'=68°,∠B'=40°解析选项A中,∠A=∠A',但ABA'B'≠ACA'C',则△ABC与△A'B'C'不相似;选项B中,ABA'B'=BCB'C'≠ACA'C',则△ABC与△A'B'C'不相似;选项C中,ABA'B'≠BCB'C',∠B与∠B'不一定相等,则△ABC与△A'B'C'不相似;选项D中,∠A=∠A',∠B=∠B',则△ABC∽△A'B'C'.答案D8如图,O是△ABC内一点,且AB∥A'B',BC∥B'C'.求证:AC∥A'C'.证明 AB∥A'B',∴OA'OA=OB'OB.又BC∥B'C',∴OB'OB=OC'OC.∴OA'OA=OC'OC.∴AC∥A'C'.39如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是∠ABC的平分线.求证:AD2=DC·AC.分析顶角是36°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的平分线,所以∠CBD=36°,则可推出△ABC∽△BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 ∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°.又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC,且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC.∴BC2=AB·CD.又BC=AD,AB=AC,∴AD2=AC·CD.10已知△ABC,延长BC到点D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(1)求AEAC的值;(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.解(1)如图,过点F作FM∥AC,交BC于点M. F为AB的中点,∴M为BC的中点,FM=12AC.又CD=BC,∴DCDM=23.4由FM∥AC,得∠CED=∠MFD,∠ECD=∠FMD,∴△FMD∽△ECD.∴DCDM=ECFM=23.∴EC=23FM=23×12AC=13AC.∴AEAC=AC-ECAC=AC-13ACAC=23.(2) AB=a,∴FB=12AB=12a.又FB=EC,∴EC=12a. EC=13AC,∴AC=3EC=32a.能力提升1如图,已知点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且△ACP∽△PDB,则∠APB等于()A.60°B.120°C.135°D.150°解析 △ACP∽△PDB,∴∠APC=∠PBD,∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠PBD+60°+∠DPB=(∠PBD+∠DPB)+60°=∠CDP+60°=60°+60°=120°.答案B★2已知在△ABC中,D是AB上一点,在边AC上找一点E,使得△ADE与△ABC相似,则这样的点最多有()A.0个B.1个C.2个D.无数个5解析如图,DE1∥BC,则△ADE1∽△ABC;在AC上若存在点E2,使∠AE2D=∠B,又∠A=∠A,则△ADE2∽△ACB,故这样的点最多有两个.答案C3如图,已知每个大正方形均由边长为1的小正方形组成,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()解析△ABC的三边长分别为√2,2,√10,A中三角形三边长分别为1,√2,√5, √21=2√2=√10√5,∴选A.可以判断选项B,C,D中的三角形与△ABC均不...
