2.2.2双曲线的简单几何性质基础练习1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为()A．1B．C．2D．2【答案】D【解析】不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2.2．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【答案】D【解析】对于双曲线C1，a1＝sinθ，b1＝cosθ，c1＝1，则实轴长为2sinθ，虚轴长为2cosθ，离心率为，焦距为2；对于双曲线C2，a2＝cosθ，b2＝sinθ，c2＝1，则实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，离心率为，焦距为2.故选D．3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则实数k的取值范围是()A．(－10,0)B．(－3,0)C．(－12,0)D．(－60，－12)【答案】C【解析】双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝.又e∈(1,2)，则1<<2.解得－120，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)，则此双曲线的方程为__________________．【答案】－＝1【解析】由题意，c＝＝5，∴a2＋b2＝c2＝25.①又双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝.②由①②解得a＝3，b＝4.∴双曲线方程为－＝1.6．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，可得|PF1|＝2ccos30°＝c，|PF2|＝2csin30°＝c.又||PF1|－|PF2||＝2a，∴c－c＝2a，则e＝＝＝＋1.7．已知双曲线过点P(3，－)，离心率e＝，试求此双曲线的方程．解：依题意，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下．若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．1由e＝，得＝.①由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1.②又a2＋b2＝c2.③所以由①②③可得a2＝1，b2＝.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2.解得b2＝－(不合题意，舍去)．故双曲线的焦点只能在x轴上，所求双曲线方程为x2－4y2＝1.8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，＝.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求实数m的值．解：(1) ＝，＝，∴a＝1，c＝.∴b2＝c2－a2＝2.∴双曲线C的方程为x2－＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m. 点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，解得m＝±1.能力提升9．(2019年山东枣庄十六中模拟)已知双曲线C1：－y2＝1，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是()A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】双曲线C1：－y2＝1的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2一条渐近线方程为y＝x，可得|F2M|＝＝b，即有|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，得ab＝16，即ab＝32.又a2＋b2＝c2，且＝，解得a＝8，b＝4，c＝4，∴双曲线的实轴长为16.10．(2019年江西南昌模拟)已知等腰梯形ABCD中AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD(包括端点C，D)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．[，＋∞)B．[，＋∞)C．[＋1，＋∞)D．[＋1，＋∞)【答案】D【解析】当双曲线过点C，D时，由平面几何可知∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，AC＝2，所以2c＝4，|CA|－|CB|＝2(－1)＝2a，即a＝－1，c＝2，此时＝＝＋1.若双曲线与线段CD相交，则双曲线的张口变大，离心率变大，即e≥＋1，故选D．211．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．【答案】2【解析】如图，由题...
