2.4.2抛物线的简单几何性质自我小测1．设抛物线y2＝2x与过焦点F的直线交于A，B两点，则OA·OB的值是()A.B．－C．3D．－32．抛物线y＝ax2(a＜0)的焦点坐标和准线方程分别为()A.，x＝－B.，x＝－C.，y＝－D.，y＝－3．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝4，则P点坐标为()A．(3,2)B．(3，－2)C．(3,2)或(3，－2)D．(－3，±2)4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.B．1C．2D．45．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点坐标为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是()A.B.C.D.6．抛物线y2＝2x上点P(1，－)到其焦点的距离为__________．7．抛物线y2＝8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________．8．已知抛物线y＝ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P(1,2)，作PQ⊥l，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为__________．9．如图，已知抛物线的焦点为F(5,1)，准线方程为x＝1.(1)求抛物线方程；(2)求焦点到顶点的距离；(3)求顶点坐标；(4)已知A(6,2)，在抛物线上求一点Q，使得|QA|＋|QF|最小．10．求顶点在原点、焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线方程．参考答案1．解析：抛物线y2＝2x的焦点坐标为.设过焦点F的直线AB为x＝ay＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－2ay－1＝0，所以y1y2＝－1，x1x2＝221222yy＝，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－.答案：B2．解析：方程为x2＝y＝－y，则2p＝(p＞0)，则焦点F，准线方程为y＝－.答案：C3．解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1.由|PF|＝xP＋1＝4，得xP＝3.代入抛物线方程1得y2＝12，所以y＝±2.答案：C4．解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为(3,0)，半径为4.故有3＋＝4，所以p＝2.答案：C5．解析：点(1,2)在抛物线y2＝2px和直线ax＋y－4＝0上，所以p＝2，a＝2，抛物线的焦点为(1,0)．焦点到直线2x＋y－4＝0的距离为＝＝.答案：B6．解析：抛物线y2＝2x的准线为x＝－，根据抛物线的定义P点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以d＝1＋＝.答案：7．解析：设所求点为(x0，y0)．因为抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，根据条件可知x0＋2＝2200xy，又因为y20＝8x0，所以x0＋2＝2008xx，解得x0＝1，所以y0＝±2.所以所求点的坐标为(1，－2)和(1,2)．答案：(1，－2)和(1,2)8．解析：将P(1,2)代入y＝ax2得a＝2.所以y＝2x2，即x2＝y.所以|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，所以S＝×1＝.答案：9．解：(1)该抛物线方程不是标准形式，应根据抛物线定义求它的方程．设抛物线上任意一点M(x，y)，据定义，可得＝|x－1|，整理得(y－1)2＝8(x－3)．这就是所求的抛物线方程．(2)根据抛物线的几何特征，抛物线焦点到顶点的距离应是焦点到准线距离的一半，而焦点到准线的距离为5－1＝4，故焦点到顶点的距离为2.(3)根据抛物线顶点性质及中点坐标公式，顶点坐标为(3,1)．(4)过点A作准线的垂线，垂足为R，交抛物线于点Q，则点Q即为所求．设抛物线上另有一点Q′(异于点Q)，点Q′到准线的距离为|Q′R′|，则|Q′A|＋|Q′F|＝|Q′A|＋|Q′R′|≥|QA|＋|QR|＝|AR|.由解得故取最小值时点Q坐标为.10．解：设所求抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．①直线方程变形为y＝2x＋1，②设抛物线截直线所得弦为AB.将②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则|AB|＝＝.解得a＝12或a＝－4.所以所求抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－4x.2
