2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3，B．10,6，C．5,3，D．10,6，【解析】椭圆方程可化为＋＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4，∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.故选B.【答案】B2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于()A.B.C.D.【解析】∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝，c＝，e＝＝＝.故＝，∴m＝.【答案】B3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1.【答案】A4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()【导学号：25650051】A.B.C.D.【解析】由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的椭圆的离心率为.故选B.【答案】B5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是()A．(0,3)B.C．(0,3)∪D．(0,2)【解析】当焦点在x轴上时，e2＝＝∈，解得0＜k＜3.1当焦点在y轴上时，e2＝＝∈，解得k＞.综上可知选C.【答案】C二、填空题6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为________．【解析】由题意得解得∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.【答案】＋＝1或＋＝17．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________.【解析】当k＋8＞9时，e2＝＝＝，k＝4；当k＋8＜9时，e2＝＝＝，k＝－.【答案】4或－8．若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】设P点到x轴的距离为h，则S△PF1F2＝|F1F2|h，当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.【答案】3三、解答题9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．【解】∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－.又e＝＝，∴a＝2，c＝，b2＝1，∴椭圆的方程为＋x2＝1.10.如图214所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．图214【解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．又∠MF1F2＝30°，所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，因此|MF1|＝，|MF2|＝，所以2c＝×，即＝，即椭圆的离心率是.2[能力提升]1．已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝|PF1|，则椭圆的离心率为()【导学号：25650052】A.B.－1C．2－D．1－【解析】由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝－1.【答案】B2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8【解析】由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(－2≤x0≤2)，OP·FP＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，当x0＝2时，OP·FP取得最大值为6.故选C.【答案】C3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________．【解析】由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1.【答案】＋＝14．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．【解】(1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.3
