2.3数学归纳法A级：基础巩固练一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)”．在验证n＝1时，左边计算所得项为()A．1＋aB．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案B解析当n＝1时，n＋1＝2，所以左边＝1＋a＋a2.2．设f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.B.－C.－D.答案D解析∵f(n＋1)＝1＋＋…＋＋，f(n)＝1＋＋…＋，∴f(n＋1)－f(n)＝.3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得()A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立答案A解析因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．4．下面四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋答案C解析A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k的取值无关D．以上答案都不对答案B解析由n＝k时命题成立，可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据递推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.6．若数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)为()A.B.C.D.1答案B解析∵f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)×＝×＝＝，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)×＝×＝.根据其结构特点可得：f(n)＝.故选B.二、填空题7．用数学归纳法证明：＋＋…＋>－(n∈N*)．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式为________．答案＋＋…＋＋>－解析当n＝k＋1时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.答案180°解析当n＝3时，f(3)＝180°，当n＝4时，f(4)＝f(3)＋180°，当n＝5时，f(5)＝f(4)＋180°，当n＝k＋1时，k＋1边形是由一个k边形与一个三角形组成，∴f(k＋1)＝f(k)＋180°.9．若存在常数a，b，使式子1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an＋b)对n∈N*都成立，则a，b的值分别为________、________.答案35解析因为存在常数a，b，使等式对所有的正整数都成立，所以当n＝1,2时等式都成立，所以得a＋b＝8,2a＋b＝11，解得a＝3，b＝5.三、解答题10．用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．证明①当n＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1＝(3k＋1)·7k－1＋6(3k＋1)·7k＋3·7k＋1＝(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k.由于(3k＋1)·7k－1和9·(2k＋3)·7k都能被9整除，所以(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k能被9整除，即当n＝k＋1时，命题也成立，由①②知(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．B级：能力提升练11．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，证明：交点的个数为f(n)＝.证明(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立．2即f(k)＝.那么n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知命题对任何n≥2，n∈N*都成立．12．设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解(1)因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，由猜想知正确．②假设n＝k时正确，即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.这说明，n＝k＋1时也正确．由①②知，对于任意n∈N*，都有an＝.3
