高二数学上学期曲线和方程例题（六）［例1］已知直线l1:kx-y-k+1=0(k≠±1)与直线l２:ky-x-2k=0,求l１与l２的交点
选题意图：考查求曲线交点的基本方法
解：解方程组得
所以l１与l２的交点为
说明：条件ｋ≠±１保证了直线ｋｘ－ｙ－ｋ＋１＝０和直线ｋｘ－ｘ－２ｋ＝０有交点
即两直线不平行不重合
［例2］求直线l:x-y+m=0(m∈R)和曲线y２=2x２+2的交点
选题意图：考查直线与圆锥曲线的交点问题及分类讨论的思想
解：解方程组由①得y=x+m,把y=x+m代入②并整理，得x２-2mx-m２+2=0③因为方程③的根的判别式Δ=(-2m)２-4(-m２+2)=8(m２-1)
∴(1)当Δ＞0，即m＜-1或m＞1时，两曲线有两个不同的交点
即(2)当Δ=0，即m=±1时，两曲线的交点重合于点(1，2)或点(-1,-2)
(3)当Δ＜0，即-1＜m＜1时，两曲线无交点
说明：直线与二次曲线的交点问题，往往解由直线方程与二次曲线的方程组成的方程组并消去x或y后，得到一个形式上为二次的一元二次方程
这个方程是否为二次方程要看最高次项的系数是否为0(有时须讨论)，是二次方程时还要判断判别式Δ与0的大小及相等关系
［例3］已知直线l:y=x+b,曲线C：y=有两个公共点，求b的取值范围
选题意图：考查两曲线的交点及方程组有解的判定问题
解：由方程组得
消去x得2y２-2by+b２-1=0,(y≥0)
l和C有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，于是解得1≤b＜为所求
说明：此题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组有解的判定问题
此题也可直接画出图形来判断
即在同一坐标系内作出ｙ＝ｘ＋ｂ及ｙ＝的图形(如图)易得b的取值用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心用心爱心专心范围是１≤ｂ＜
用心爱心专心
