第4节基本不等式选题明细表知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明2,10利用基本不等式求最值1,3,4,6,7,9,13基本不等式的实际应用11,14,15基本不等式的综合应用5,8,12基础对点练(时间:30分钟)1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是(D)(A)a+b≥2(B)+>(C)+>2(D)a2+b2≥2ab解析:当a<0,b<0时,A,B错误.当a=b时,C错误,所以选D.2.设0
2)在x=a处取得最小值,则a等于(C)(A)1+(B)1+(C)3(D)4解析:因为x>2,所以x-2>0.所以f(x)=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时上式取“=”.所以选C.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是(A)(A)(-∞,](B)(0,](C)(-,0)(D)(-∞,)解析:由题意知圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,则a+b=1,所以ab≤=.当且仅当a=b=时上式取“=”,故选A.5.(2016·日照模拟)已知a,b∈(0,+∞),函数y=2aex+b的图象过点(0,1),则+的最小值是.解析:因为函数过点(0,1),所以2a+b=1,所以+=+=3++≥3+2,当且仅当=时取等号.答案:3+26.(2016·浙江杭州模拟)设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=4且a+b=2,则+的最大值为.解析:由ax=by=4得x=loga4,y=logb4,故+=+=log4a+log4b=log4ab.又因为a>1,b>1,a+b=2,故log4ab≤log4()2=log42=,所以+≤,当且仅当a=b=,即x=y=4时等号成立.所以+的最大值为.答案:7.(2016·万州模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则16x+4y的最小值为.解析:因为a⊥b,a=(x-1,2),b=(4,y),所以4(x-1)+2y=0,即4x+2y=4,因为16x+4y=24x+22y≥2=2=8,当且仅当24x=22y,即4x=2y=2时取等号.答案:88.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是.解析:易知定点A(0,0),B(1,3).且无论m取何值,两直线垂直.所以无论P与A,B重合与否,均有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10(P在以AB为直径的圆上).所以|PA|·|PB|≤(|PA|2+|PB|2)=5.当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立.答案:59.(1)已知00,y>0,所以-x>0,解得00且Δ≤0,可得b2≤4ac-4a2,则≤=,令t=-1,可知t≥0.当t>0时,≤=≤=-2(当且仅当t=时等号成立),当t=0时,=0,故的最大值为-2.故选B.13.(2016·江苏宿迁一模)若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是.解析:由a2-ab+b2=1,可得(a+b)2=1+3ab≤1+3×,则(a+b)2≤1,-2≤a+b≤2,所以a+b的最大值是2.答案:214.某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为2000元/m2;材料工程费在建造第一层时...
