10平行与垂直的证明1.下列条件中,能判断平面α∥β的是().①存在一条直线a,a⊂α,a∥β;②存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;③α内存在不共线的三点到β的距离相等;④l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.A.②③B.②④C.②③④D.①③④解析▶①③中两平面可能相交,故选B.答案▶B2.给出下列四个命题,其中假命题的个数是().①垂直于同一条直线的两条直线平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直;④两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线,此直线必垂直于另一个平面.A.1B.2C.3D.4解析▶①错,可以相交;②错,可以相交、平行;③正确;④错,直线在平面内才垂直,否则不垂直.故选C.答案▶C3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是().A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n解析▶若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n相交、平行或异面,故A错误; m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又 n∥β,∴α⊥β,故B正确;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交,故C错误;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m与n异面,故D错误.故选B.答案▶B4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1成60°的面对角线共有条.解析▶与AD1异面的面对角线有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,共5条,其中与B1C成90°,其余成60°.答案▶4能力1▶能准确判断点、线、面的位置关系【例1】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证:BN∥平面A1MC.(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.解析▶(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1.又点M,N分别是AB,A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而BN∥A1M,又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M,MC⊂平面A1MC,且A1M∩MC=M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB1⊥A1C.正确运用平面的基本性质,线线、线面平行或垂直等性质定理和判定定理进行判断.如图所示,AB为☉O的直径,点C在☉O上(不与A,B重合),PA⊥平面ABC,点E,F分别为线段PC,PB的中点.G为线段PA上(除点P外)的一个动点.(1)求证:BC∥平面GEF.(2)求证:BC⊥GE.解析▶(1)因为点E,F分别为线段PC,PB的中点,所以EF∥CB,又EF⊂平面GEF,点G不与点P重合,CB⊄平面GEF,所以BC∥平面GEF.(2)因为PA⊥平面ABC,CB⊂平面ABC,所以BC⊥PA.又因为AB是☉O的直径,所以BC⊥AC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,且GE⊂平面PAC,所以BC⊥GE.能力2▶能正确运用线线、线面平行与垂直的性质定理及判定定理解题【例2】如图,在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面BDEF⊥平面ABCD.(1)求证:DF⊥CE.(2)若AC与BD相交于点O,则在棱AE上是否存在点G,使得平面OBG∥平面EFC?并说明理由.解析▶(1)连接EB. 在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=1,DC=2,∴BD=❑√2,BC=❑√2,∴BD2+BC2=CD2,∴BC⊥BD.又 平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面BDEF,∴BC⊥DF.又 在正方形BDEF中,DF⊥EB且EB,BC⊂平面BCE,EB∩BC=B,∴DF⊥平面BCE. CE⊂平面BCE,∴DF⊥CE.(2)在棱AE上存在点G,使得平面OBG∥平面EFC,且AG¿=12.证明如下: 在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=1,DC=2,∴AB∥DC,AOOC=ABDC=12.又 AG¿=12,∴OG∥CE. 在正方形BDEF中,EF∥OB,且OB,OG⊄平面EFC,EF,CE⊂平面EFC,∴OB∥平面EFC,OG∥平面EFC. OB∩OG=O,且OB,OG⊂平面OBG,∴平面OBG∥平面EFC.高考中立体几何部分不断出现了一些具有探索性、开放性的试题,对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法等方法来解决.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD.(2)若PD=AD,求...
