课时跟踪检测（十）立体几何（大题练）A卷——大题保分练1.(2018·洛阳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：平面AEF⊥平面PCD；(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：由题意知，PA＝PD＝AD，F为PD的中点，可得AF⊥PD， 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PCD.(2)取AD的中点O，BC的中点G，连接OP，OG， PA＝PD＝AD，∴OP⊥AD. 平面PAD⊥平面ABCD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD.分别以OA，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(－1,2,0)，E，F，AF＝，FE＝(0,1,0)．设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，则即可取m＝(1,0，)，为平面AEF的一个法向量．同理，可得平面ACE的一个法向量为n＝(，，1)．cos〈m，n〉＝＝＝.∴平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.2.(2018·山西八校联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，G是棱BB1上的动点．(1)当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE?(2)求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值．解：(1)当＝，即G为BB1的中点时，平面CDG⊥平面A1DE.证明如下：因为点D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC且DE＝AC，又AC∥A1C1，AC＝A1C1，所以DE∥A1C1，DE＝A1C1，故D，E，C1，A1四点共面．如图，连接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中，tan∠C1EC＝2，tan∠BCG＝，故∠CHE＝90°，即CG⊥C1E.因为A1C1⊥平面CBB1C1，CG⊂平面CBB1C1，所以DE⊥CG，又C1E∩DE＝E，所以CG⊥平面A1DE，故平面CDG⊥平面A1DE.(2)由(1)知，当G为BB1的中点时，平面A1DE的一个法向量为CG.三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面ABC，所以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为AC＝BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，所以C(0,0,0)，A1(2,0,2)，D(1,1,0)，E(0,1,0)，B(0,2,0)，F(0,1,2)，G(0,2,1)，A1B＝(－2,2，－2)，A1F＝(－2,1,0)，CG＝(0,2,1)．由CD知CG为平面A1DE的一个法向量．设平面A1BF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1得n＝(1,2,1)，为平面A1BF的一个法向量．设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝，所以平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值为.3．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图②所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；(2)求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值．解：(1)如图，取D1E的中点，记为L，连接AL，FL，则FL∥EC，又EC∥AB，∴FL∥AB，且FL＝AB，∴M，F，L，A四点共面，且平面D1AE∩平面AMFL＝AL，若MF∥平面D1AE，则MF∥AL，∴四边形AMFL为平行四边形，∴AM＝FL＝AB.(2)取AE的中点O，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，连接OD1. AD1＝D1E，∴D1O⊥AE，∴D1O⊥平面ABCE，D1O⊥OG，D1O⊥OH，又易得OG⊥OH，故OG，OH，OD1两两垂直，以O为坐标原点，OG，OH，OD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1,3,0)，C(－1,3,0)，E(－1,1,0)，D1(0,0，)．故BD1＝(－1，－3，)，CD1＝(1，－3，)，CE＝(0，－2,0)．设平面CD1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即取x＝，得m＝(，0，－1)．设直线BD1与平面CD1E所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，BD1〉|＝＝＝.即直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值为.4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，H是CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；(3)求二面角HBDC的大小．解：(1)证明： 四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又 平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF.(2)设AC∩BD＝O，取EF的中点N，连接ON， 四边形BDE...
