【高考领航】2017届高考数学大一轮复习演练经典习题4文北师大版1．(2016·苏、锡、常、镇四市调研)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点，求证：(1)平面ABC⊥平面ABC1；(2)EF∥平面BCC1B1；(3)FG⊥平面AB1C1.证明：(1)∵AB⊥BC，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴BC⊥平面ABC1.又∵BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.(2)在△AA1C1中，∵E、F分别为AC1、A1C1的中点，∴EF∥AA1，∵几何体ABC－A1B1C1为三棱柱，∴BB1∥AA1，∴EF∥BB1，∵BB1平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1.(3)在△AA1C1中，∵E、F分别为AC1、A1C1的中点，∴EF∥AA1，EF＝AA1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，G为BB1的中点，∴BG∥AA1，BG＝AA1，∴EF∥BG，且EF＝BG，连接BE，则四边形BEFG为平行四边形，∴FG∥EB.∵AB＝BC1，E为AC1的中点，∴BE⊥AC1，则FG⊥AC1.∵BC⊥AB，BC⊥BC1，B1C1∥BC，∴B1C1⊥AB，B1C1⊥BC1，又AB∩BC1＝B，∴B1C1⊥平面ABC1.∵BE平面ABC1，∴B1C1⊥BE，则B1C1⊥FG，∵AC1∩B1C1＝C1，∴FG⊥平面AB1C1.2．已知四棱锥P－ABCD及其三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；(3)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．解：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PC＝×12×2＝，即四棱锥P－ABCD的体积为.(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.证明：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PC⊥底面ABCD，且BD平面PAC.∴BD⊥PC.又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.(3)在平面DAE内，过点D作DF⊥AE于F，连接BF.∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝，AE＝AE＝，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．在Rt△ADE中，DF＝＝＝BF，又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝＝＝－，∴∠DFB＝120°，即二面角D－AE－B的大小为120°.3．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.(1)证明AD⊥平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小；(3)求二面角P－BD－A的正切值的大小．解：(1)证明：在△PAD中，由题设PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2＋AD2＝PD2，于是AD⊥PA.在矩形ABCD中，AB⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.(2)由题设，BC∥AD，所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB＝＝.由(1)知AD⊥平面PAB，PB平面PAB，所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tan∠PCB＝＝.所以异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小为.(3)如图所示，过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连接PE.因为AD⊥平面PAB，PH平面PAB，所以AD⊥PH.又AD∩AB＝A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影，∴BD⊥PE.从而∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，BD＝＝，由Rt△BEH∽Rt△BAD，得HE＝·BH＝.于是在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.所以二面角P－BD－A的正切值的大小为.
