第27讲三角函数的图象与性质(二)1．(经典真题)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos(2x＋)，④y＝tan(2x－)中，最小正周期为π的所有函数为(A)A．①②③B．①③④C．②③D．①③①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；③y＝cos(2x＋)的最小正周期T＝＝π；④y＝tan(2x－)的最小正周期T＝.因此最小正周期为π的函数为①②③.2．(2018·天津卷)将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(A)A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin[2(x－)＋]＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调增区间为[，]，一个单调减区间为[，]．由此可判断选项A正确．3．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ的一个值可以是(D)A．－B.C.D.f(x)＝2sin(2x＋θ＋)，因为f(x)是奇函数，所以θ＋＝kπ(k∈Z)，即θ＝kπ－，k∈Z，排除B、C.若θ＝－，则f(x)＝2sin2x在[0，]上递增，排除A.故选D.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是(D)A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在(，π)单调递减因为f(x)＝cos(x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．因为f(x)＝cos(x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．f(x＋π)＝cos(x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．因为f(x)＝cos(x＋)的递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，所以f(x)在(，)递减，在[，π)递增，D项错误．5．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z).由kπ－0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是(0，].(方法1)由2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)，得f(x)的增区间为[－，＋]，(k∈Z)．因为f(x)在[－，]上是增函数，所以[－，]⊆[－，]，所以所以ω∈(0，]．(方法2)因为x∈[－，]，ω>0，所以ωx∈[－，]，又f(x)在区间[－，]上是增函数，所以[－，]⊆[－，]，所以又ω>0，所以0<ω≤.10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．(1)由coscosφ－sinsinφ＝0，得coscosφ－sinsinφ＝0，即cos(＋φ)＝0.又|φ|<，所以φ＝.(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝，又T＝，故ω＝3，所以f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝.
