第三讲函数与方程及函数的应用主干知识回扣主干网络要点强化1．连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号一定改变吗？提示可能不变．如f(x)＝(x－2)2.2．函数的零点与其对应方程根、对应函数图象与x轴交点有什么关系？这一关系有何作用？提示函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点；这一关系可以将我们要研究的不易解决的问题转化为另一易解决的问题处理，如零点问题可转化为其对应函数图象与x轴交点问题处理．还可进一步推广，函数H(x)＝f(x)－g(x)的零点，即y＝f(x)与y＝g(x)图象交点横坐标等．3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系如何？提示(1)Δ＜0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点⇔ax2＋bx＋c＝0无实根⇔ax2＋bx＋c＞0(＜0)的解集为(R)；(2)Δ＝0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切⇔ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实根；(3)Δ＞0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点⇔ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根．4．函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)，y＝xn(n＞0)的增长速度各有什么特点？提示函数y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，y＝logax(a＞1)增长速度越来越慢，而y＝xn(n＞0)则相对平稳．高频点突破考点一函数的零点1．函数零点(方程的根)的确定问题，常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．2．函数零点(方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例1(2009·天津)设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)1A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【独立解答】解法一因为1()3f＝·－ln＝＋1＞0，f(1)＝－ln1＝＞0，f(e)＝－lne＝－1＜0，∴1()3f·f(1)＞0，f(1)·f(e)＜0，故y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解法二在同一坐标系中分别画出y＝x与y＝lnx的图象．如图所示．由图象知零点存在，在区间(1，e)内．【答案】D变式训练1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)【解析】f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－3＝－＜0，f(0)＝20＋3×0＝1＞0. y＝2x、y＝3x均为单调增函数，∴f(x)在(－1,0)内有一零点．【答案】B考点二函数与方程的综合应用1．此类问题常与一元二次方程根的存在性及根的分布问题相结合考查，特别是求方程中含参数的取值范围问题，考查题型多为解答题，难度偏大．2．解决此类问题主要依据判别式、对称轴、特殊点的函数值这三方面的特征，列出有关参数的不等式(或等式)，然后利用三个二次之间的关系并借助数形结合的思想解决．例2(2009·广东)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1(m≠0)．设f(x)＝.(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．【独立解答】设二次函数为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， y＝()gx＝2ax＋b的图象与直线y＝2x平行，∴a＝1.又 y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1，∴－＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1，所以b＝2，c＝m.故f(x)＝＝＋x＋2.(1)已知m≠0，设曲线y＝f(x)上点P的坐标为P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为|PQ|＝＝＝≥2＝，当且仅当2x2＝⇒x＝±时等号成立． |PQ|的最小值为，∴＝⇒|m|＋m＝1.①当m＞0时，解得m＝＝－1.②当m＜0时，解得m＝＝－－1.故m＝－1或m＝－－1.(2)y＝f(x)－kx的零点，即方程＋(1－k)x＋2＝0的解， m≠0，∴＋(1－k)x＋2＝0与(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解．①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0⇒x＝－≠0，所以函数y＝f(x)－kx有零点x＝－.②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判别式Δ＝4[1＋m(k－1)]．若Δ＝0⇒...
