第59讲绝对值不等式课时达标1．函数f(x)＝ax＋b，当|x|≤1时，都有|f(x)|≤1，求证：|b|≤1，|a|≤1.证明因为|f(x)|≤1，令x＝0，得|f(0)|≤1，所以|b|≤1.因为|f(1)|＝|a＋b|≤1，|f(－1)|＝|－a＋b|≤1，所以2|a|＝|a＋b＋a－b|≤|a＋b|＋|a－b|≤2，所以|a|≤1.2．(2019·泉州模拟)已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．解析(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；当－3＜x＜2时，有2x＋1≥3，解得1≤x＜2.综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.所以a的取值范围是[－1,9]．3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解析(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立．因此a＋b的最小值为5.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解析(1)f(x)＝当x<－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围为.5．设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.解析(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.当x≥2时，原不等式化为2x－3≥4，解得x≥，所以x≥；当1≤x＜2时，原不等式化为1≥4，无解；当x<1时，原不等式化为3－2x≥4，解得x≤－，所以x≤－.所以原不等式的解集为∪.(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，所以解得a＝1，所以＋＝1(m>0，n>0)．所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥4，当且仅当m＝2n时，等号成立．6．(2019·辽宁联考)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)．(1)当m＝7时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．解析(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，则或或解得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．(2)不等式f(x)≥2，即|x＋1|＋|x－2|≥m＋4，因为x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋4的解集是R，所以m＋4≤3，即m的取值范围是(－∞，－1]．
