03导数及其应用1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=().A.1B.2C.3D.4解析▶由条件知(1,f(1))在直线x-y+2=0上,且f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=3+1=4,故选D.答案▶D2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则ab的值为().A.-23B.-2C.-2或-23D.2或-23解析▶由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,则f'(1)=0,f(1)=10,即{3+2a+b=0,1+a+b-a2-7a=10,解得{a=-2,b=1或{a=-6,b=9,经检验{a=-6,b=9满足题意,故ab=-23,故选A.答案▶A3.对于R上可导的任意函数f(x),若满足1-xf'(x)≤0,则必有().A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)≥2f(1)解析▶当x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1).所以f(0)>f(1),f(2)>f(1),则f(0)+f(2)>2f(1).故选A.答案▶A4.若函数y=-13x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.解析▶y'=-x2+a,若y=-13x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0应有两个不等实根,Δ=4a>0,故a的取值范围是(0,+∞).答案▶(0,+∞)能力1▶会应用导数的几何意义【例1】(1)已知曲线f(x)=ax2x+1在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为().A.23B.-32C.-34D.43(2)曲线f(x)=x2+lnx在点(1,f(1))处的切线方程为.解析▶(1)对函数f(x)=ax2x+1求导,可得f'(x)=2ax(x+1)-ax2(x+1)2.因为曲线f(x)=ax2x+1在点(1,f(1))处切线的斜率为1,所以f'(1)=3a4=1,得a=43,故选D.(2)因为f'(x)=2x+1x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=2+11=3.因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.答案▶(1)D(2)3x-y-2=01.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:先求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解.1.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.解析▶ 函数ye=x的导函数为y'e=x,∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P的坐标为(x0,y0)(x0>0), 函数y=1x的导函数为y'=-1x2,∴曲线y=1x(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02,由题意知k1k2=-1,即1·(-1x02)=-1,解得x02=1,又x0>0,∴x0=1. 点P在曲线y=1x(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).答案▶(1,1)2.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.解析▶(法一)令f(x)=x+lnx,求导得f'(x)=1+1x,则f'(1)=2.又f(1)=1,∴曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切的切点为P(x0,y0),则当x=x0时,y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12.又ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,即ax02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-12,此时a=8.(法二)求出曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1.由{y=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,得ax2+ax+2=0,∴Δ=a2-8a=0,∴a=8或a=0(显然不成立).答案▶8能力2▶会利用导数解决函数的单调性问题【例2】(1)函数f(x)=x2lnx的单调递减区间为().A.(0,❑√e)B.(❑√ee,+∞)C.(-∞,❑√ee)D.(0,❑√ee)(2)若函数f(x)=lnx+ax2-2在(12,2)内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是().A.(-∞,-2]B.(-18,+∞)C.(-2,-18)D.(-2,+∞)解析▶(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由题意得f'(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),令f'(x)<0,解得0g(12)=-2,所以a>-2.故选D.答案▶(1)D(2)D利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区...
