第08讲：立体几何探究点的位置的方法【知识要点】一、立体几何中经常出现探究点的位置的习题，有些同学遇到这种类型的习题,感到比较迷茫.立体几何中探究点的位置的方法一般有三种：猜想证明法、直接探究法和设点解方程法.二、由于文科生没有空间向量，所以文科生一般不用设点解方程法，文科生一般选择猜想证明法和直接探究法.【方法讲评】方法一猜想证明法使用情景点的位置刚好很特殊（中点或1:2等分点等），证明也比较方便.解题步骤一般先猜想特殊位置（中点，等分点等），再证明.【例1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.（1）求证：平面；（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；（3）求二面角的余弦值.在底面中，因为，，所以，所以.又因为，所以平面.（3）由（1）知，底面，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则（0，0，1），(1,0,0)，(0,2,0),(1,1,0)，则=(1,1,-1),=(-1,1,0)，显然平面，所以为平面的一个法向量.设面的一个法向量=()，则==0且==0，取=1，则=1，=2，则.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以，即二面角的余弦值为.【点评】(1)由于,所以观察联想取的中点试验证明，刚好又可以证明点满足条件，所以这种方法此时是可行的.（2）这种猜想证明法是有局限的，如果动点不是特殊点，那就不好处理，既浪费了考试的时间，又给自己制造了紧张气氛.【反馈检测1】在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为.（1）证明：直线∥平面；（2）求棱的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.方法二直接探究法使用情景直接求解.解题步骤直接通过解三角形(正弦定理、余弦定理、直角三角函数和相似三角形)等求解.【例2】如图,直三棱柱中，侧棱长为2，,是的中点，上是否存在点,交于点,且,如果存在，求线段的长.【解析】假设上是否存在点，设则.【点评】（1）本题如果利用猜想证明法，猜想中点，但是本题恰好不是中点，所以显示出猜想证明法的局限性了.(2)本题利用的是直接探究法，直接通过解三角形（相似三角形）求得.解三角形可以利用正弦定理、余弦定理、三角函数和相似三角形.【反馈检测2】如图，四边形为矩形，平面，，平面，且点在上．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)设点在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面.方法三设点解方程法使用情景方法比较普遍，已知条件适合建立空间直角坐标系，适用于大多数题目.（文科生一般不用此法，因为文科没有空间向量）解题步骤先设点,且，再用表示点的坐标，最后把点的坐标代入已知的某个条件等式求出的值，即得点的位置.【例3】如图，四棱柱中,侧棱底面，，，，为棱的中点.(1)证明：；(2)设点在线段上,且直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.(2)设有.可取为平面的一个法向量.设为直线与平面所成角，则于是解得所以.【点评】(1)本题试验中点，发现证明不了，所以最好直接利用设点解方程组法.先设点,且，再用表示点的坐标，最后把点的坐标代入已知的某个条件等式求出的值，即得点的位置.(2)在设点时，要注意的范围，以免出现增解.(3)设点时，有时不需要设三个未知数，要结合实际情况，确定未知数的个数，未知数越少越好.【反馈检测3】如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【反馈检测4】如图，的外接圆的半径为，所在的平面，，，，且，．（1）求证：平面平面．（2）试问线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．高中数学热点难点突破技巧第08讲：立体几何探究点的位置的方法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）存在，（2）解：设， 几何体的体积为，∴，即，即，解得．∴的长为4．（3）在平面中作交于，过作交于点，则．因为，而，又，且．∽.为直角梯形，且高.【反馈检测2答案】(1)见解析；(2)见解析.(3)点...
