考点39数学归纳法1.用数学归纳法证明:()能被整除.从假设成立到成立时,被整除式应为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由于当n=k+1时,x2n-1+y2n-1=x2k+1+y2k+1,故选:C.2.等式()A.时都成立B.当时成立C.当时成立,时不成立D.仅当时不成立【答案】B3.利用数学归纳法证明“,”时,从“”变到“”时,左边应增乘的因式是()A.B.C.D.【答案】C【解析由题意,n="k"时,左边为(k+1)(k+2)…(k+k);n=k+1时,左边为(k+2)(k+3)…(k+1+k+1);从而增加两项为(2k+1)(2k+2),且减少一项为(k+1),故选C.4.用数学归纳法证明“…”时,由到时,不等试左边应添加的项是()A.B.C.D.【答案】C5.如果命题对于成立,同时,如果成立,那么对于也成立。这样,下述结论中正确的是()A.对于所有的自然数成立B.对于所有的正奇数成立C.对于所有的正偶数成立D.对于所有大于3的自然数成立【答案】B【解析】由于若命题对成立,则它对也成立.又已知命题成立,可推出均成立,即对所有正奇数都成立故选:B.6.已知正项数列中,用数学归纳法证明:.【答案】见解析.7.设,正项数列的前项的积为,且,当时,都成立.(1)若,,,求数列的前项和;(2)若,,求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【解析】(1)当n≥2时,因为M={1},所以=TnT1,可得an+1=ana1,故=a1=3(n≥2).又a1=,a2=3,则{an}是公比为3的等比数列,故{an}的前n项和为=•3n﹣.(2)当n>k时,因为=TnTk,所以=Tn+1Tk,所以a2,a3,a4是公比为q的等比数列,所以{an}(n≥2)是公比为q的等比数列.因为当n=4,k=3时,T7T1=T42T32;当n=5,k=4时,T9T1=T52T42,所以()7=2a24,且()10=2a26,所以=2,a2=2.又a1=,所以{an}(n∈N*)是公比为的等比数列.故数列{an}的通项公式是an=2n﹣1•.8.已知数列满足….(1)求,,的值;(2)猜想数列的通项公式,并证明.【答案】(1)(2)见解析,于是.所以,故时结论也成立.由①②得,.9.用数学归纳法证明:对于任意的,.【答案】见解析10.(1)已知,比较和的大小并给出解答过程;(2)证明:对任意的,不等式成立.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】11.已知数列是等差数列,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的通项(其中且)记是数列的前项和,试比较与的大小,并证明你的结论.【答案】(1);(2)当时,,当时,,证明见解析.,即当n=k+1时,(*)式成立由①②知,(*)式对任意正整数n都成立于是,当a>1时,Sn>logabn+1,当0<a<1时,Sn<logabn+1.12.已知数列满足,.(1)计算,,,根据计算结果,猜想的表达式;(2)用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.由题意得,∴当时猜想也成立;由①和②,可知猜想成立,即.13.已知数列的前项和为,且满足,.(1)计算,,,根据计算结果,猜想的表达式;(2)用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.∴,∴,∴当时猜想也成立,由①和②,可知猜想成立,即.14.已知数列满足且.(1)计算、、的值,由此猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法对你的结论进行证明.【答案】(1),;(2)证明见解析.15.是否存在常数,使得等式对一切正整数都成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】见解析.【解析】假设存在,使得所给等式成立.16.是否存在正整数,使得对任意正整数都能被36整除?若存在,求出的最小值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.【答案】见解析17.已知正项数列中,且(1)分别计算出的值,然后猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1);;(2)见解析.【解析】(1)令得化简得,解得或.18.数列中,,前项的和记为.(1)求的值,并猜想的表达式;(2)请用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1) ,∴,,∴猜想.(2)证明:①当时,,猜想成立;②假设当时,猜想成立,即:;∴当时,∴时猜想成立∴由①、②得猜想得证.19.(1)证明:;(2)证明:();(3)证明:.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.所以.(3...