考点39数学归纳法1．用数学归纳法证明：（）能被整除．从假设成立到成立时，被整除式应为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由于当n=k+1时，x2n-1+y2n-1=x2k+1+y2k+1，故选：C．2．等式（）A．时都成立B．当时成立C．当时成立，时不成立D．仅当时不成立【答案】B3．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析由题意，n="k"时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选C．4．用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是()A．B．C．D．【答案】C5．如果命题对于成立，同时，如果成立，那么对于也成立。这样，下述结论中正确的是（）A．对于所有的自然数成立B．对于所有的正奇数成立C．对于所有的正偶数成立D．对于所有大于3的自然数成立【答案】B【解析】由于若命题对成立，则它对也成立．又已知命题成立，可推出均成立，即对所有正奇数都成立故选：B．6．已知正项数列中，用数学归纳法证明：.【答案】见解析.7．设，正项数列的前项的积为，且，当时，都成立.（1）若，，，求数列的前项和；（2）若，，求数列的通项公式.【答案】(1)(2)【解析】（1）当n≥2时，因为M={1}，所以=TnT1，可得an+1=ana1，故=a1=3（n≥2）．又a1=，a2=3，则{an}是公比为3的等比数列，故{an}的前n项和为=•3n﹣．（2）当n＞k时，因为=TnTk，所以=Tn+1Tk，所以a2，a3，a4是公比为q的等比数列，所以{an}（n≥2）是公比为q的等比数列．因为当n=4，k=3时，T7T1=T42T32；当n=5，k=4时，T9T1=T52T42，所以（）7=2a24，且（）10=2a26，所以=2，a2=2．又a1=，所以{an}（n∈N*）是公比为的等比数列．故数列{an}的通项公式是an=2n﹣1•．8．已知数列满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明．【答案】(1)(2)见解析，于是．所以，故时结论也成立．由①②得，．9．用数学归纳法证明：对于任意的，.【答案】见解析10．（1）已知，比较和的大小并给出解答过程；（2）证明：对任意的，不等式成立.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】11．已知数列是等差数列，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项(其中且)记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）当时，,当时，，证明见解析.,即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n都成立于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.12．已知数列满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.13．已知数列的前项和为，且满足，.（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.∴，∴，∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.14．已知数列满足且.（1）计算、、的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．【答案】（1），；（2）证明见解析.15．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】假设存在，使得所给等式成立．16．是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】见解析17．已知正项数列中，且（1）分别计算出的值，然后猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）；；（2）见解析.【解析】（1）令得化简得，解得或.18．数列中，，前项的和记为．（1）求的值，并猜想的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1） ，∴，，∴猜想．（2）证明：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即：；∴当时，∴时猜想成立∴由①、②得猜想得证．19．(1)证明：；(2)证明：()；(3)证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.所以．（3...
