第六讲三角恒等变换与解三角形1.(2018四川成都模拟)已知tanα=34,α∈(0,π),则cos(α+π6)的值为()A.4❑√3-310B.4❑√3+310C.4-3❑√310D.3❑√3-4102.(2018福建福州模拟)❑√3cos15°-4sin215°cos15°=()A.12B.❑√22C.1D.❑√23.(2018课标全国Ⅲ(理),9,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π64.(2018重庆六校联考)在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形5.(2018河南洛阳第一次统考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac-bc,则cbsinB=()A.2❑√33B.❑√32C.12D.❑√36.(2018湖北武汉调研)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2bcosC=2a+c,则B=()A.π6B.π4C.π3D.2π37.(2018吉林长春监测)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若12bcosA=sinB,且a=2❑√3,b+c=6,则△ABC的面积为.8.(2018湖北武汉调研)在钝角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,则c的取值范围是.9.(2018四川成都模拟)如图,在直角梯形ABDE中,已知∠ABD=∠EDB=90°,C是BD上一点,AB=3-❑√3,∠ACB=15°,∠ECD=60°,∠EAC=45°,则线段DE的长度为.10.(2018河南开封模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=2ctanB,且a=5,△ABC的面积为2❑√3,则b+c的值为.11.(2018广东惠州模拟)在△ABC中,D是BC边的中点,AB=3,AC=❑√13,AD=❑√7.(1)求BC边的长;(2)求△ABC的面积.12.(2018天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-π6).(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.13.(2018湖北黄冈模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若23cos2A+cos2A=0,且△ABC为锐角三角形,a=7,c=6,求b的值;(2)若a=❑√3,A=π3,求b+c的取值范围.14.(2018湖南湘东五校联考)已知函数f(x)=❑√32sin2x-cos2x-12.(1)求f(x)的最小值,并写出取得最小值时的自变量x的集合;(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=❑√3,f(C)=0,若sinB=2sinA,求a,b的值.答案精解精析1.A因为tanα=34,α∈(0,π),所以sinα=35,cosα=45,故cos(α+π6)=cosαcosπ6-sinαsinπ6=45×❑√32-35×12=4❑√3-310,故选A.2.D解法一:❑√3cos15°-4sin215°cos15°=❑√3cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=❑√3cos15°-2sin15°·sin30°=❑√3cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=❑√2.故选D.解法二:因为cos15°=❑√6+❑√24,sin15°=❑√6-❑√24,所以❑√3cos15°-4sin215°·cos15°=❑√3×❑√6+❑√24-4×(❑√6-❑√24)2×❑√6+❑√24=❑√6+❑√24×(❑√3-8-4❑√34)=❑√2.故选D.3.C根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因为S△ABC=a2+b2-c24,所以S△ABC=2abcosC4,又S△ABC=12absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=π4.故选C.4.A已知等式变形得cosB+1=ac+1,即cosB=ac①.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac,代入①得a2+c2-b22ac=ac,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.5.A a,b,c成等比数列,∴b2=ac,∴sin2B=sinA×sinC,又a2=c2+ac-bc=c2+b2-bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,∴sinA=❑√32,∴cbsinB=sinCsin2B=1sinA=2❑√3=2❑√33,故选A.6.D因为2bcosC=2a+c,所以由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA+sinC=2sin(B+C)+sinC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC,即2cosBsinC=-sinC,又sinC≠0,所以cosB=-12,又05,②若∠A为钝角,则cosA=b2+c2-a22bc=c2-76c<0,解得0
